《专题07 二次函数中相似三角形存在性（2）——非直角三角形 2020-2021学年九年级数学重点题型通关训练解析版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题07 二次函数中相似三角形存在性（2）——非直角三角形 2020-2021学年九年级数学重点题型通关训练解析版（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题07 二次函数中相似三角形存在性（2）非直角三角形 【专题导入】1.如图，已知点A,B在x轴上，C在y轴上. 其中点A（3,0），B（-1,0），C（3,0）.（1）A=_；（2）tan B=_；（3）求sinACB的值.【解析】（1）45（OAC是等腰直角三角形）；（2）3（RtBOC中，CO=3,BO=1）；（3）根据题中条件，可得AB=4，CA=OA2+CO2=32，CB=BO2+CO2=10.过点B作BDAC，垂足为D.根据等面积法可得12ABCO=12CABD，解得BD=22.sinACB=BDBC=2210=255.【方法技巧】要找两个三角形相似，基本都需要用到“角相等”，遇到
2、非直角三角形时，我们需要根据给出的三角形的角度特征进行解题.60，30，45等角度，可以通过观察点的位置简单得出；（第1题（1）问）遇到不能直接得出特殊角的度数，若一边在坐标轴上时，可以通过过这边外的一点作垂线，得到直角三角形，从而得出相应的三角函数值；（第1题（2）问）遇到2个边不在坐标轴上，又明显不是特殊角，可尝试使用等面积法得出相应的高，从而得出三角函数值.（第一题（3）问）【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-4x-5，与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似，求点D的坐标.【解析】如图1，
3、令x=0，则y=-5，C（0，-5），OC=OB，OBC=OCB=45，AB=6，BC=52，AC=26要使以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似，ACBBCD，则有ABCDBCBC或ABBCBCCD当ABCDBCBC时，CD=AB=6，D（0，1），当ABCBBCCD时，65252CD.CD=253，D（0，103）即：D的坐标为（0，1）或（0，103）【例2】如图，抛物线与x轴相交于点A（-3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点 （1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；（2）连接OD交线段AC于点E当AOE与ABC相似时，求点D的坐标.【解
4、析】（1）设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，将点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）分别代入得：9a3b+c=0，a+b+c=0，c=3.解得：a=1，b=2，c=3，故抛物线解析式为：y=-x2-2x+3由于y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，所以该抛物线的顶点坐标是（-1，4）.（2）如图，过点D作DKx轴于点K，设D（x，-x2-2x+3），则K（x，0）并由题意知点D位于第二象限DK=-x2-2x+3，OK=-xBAC是公共角，当AOE与ABC相似时，有2种情况：AOD=ABCtanAOD=tanABC=3x22x+3x=3，解得x1=1132，x2=1+132（舍去
5、），D（1132，31332）AOD=ACB过点A作AFBC，垂足为F.在RtAFB中，根据tanABC=3和AB=4，可得BF=2105，AF=6105.AB=10，CF=AB-BF=3105.tanAOD=tanACB=2x22x+3x=2，解得x1=-3，x2=3（舍去）D（-3，23）综上所述，当AOE与ABC相似时，点D的坐标是（1132，31332）或（-3，23）【专题过关】1. 如图，已知抛物线y=-x2-2x+3经过点A（-3，0），C（0，3），交x轴于另一点B，其顶点为D点P为抛物线上一点，直线CP交x轴于点E，若CAE与OCD相似，求P点坐标. 【解析】y=-x2-2x
6、+3=-（x+1）2+4，顶点D（-1，4）A（-3，0），C（0，3），D（-1，4），AC=32，OA=OC=3，CD=2，OCD=CAE=135，点E只能在A点左边若CAEDCO，则CAAEDCCO23，AE=9，OE=12，E（-12，0）C（0，3），yCE14x+3联立yx22x+3，yCE=14x+3，解得x1=94，y1=3916，x2=0，y2=3（舍去），P(94，3916)；若CAEOCD，则CAAEOCCD32，AE=2，OE=5，E（-5，0）C（0，3），yCE35x+3联立yx22x+3，yCE=35x+3，解得x1=135，y1=3925，x2=0，y2=3（舍
7、去），P(135，3625)因此，P(94，3916)或(135，3625).2. 如图，设抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两个不同的点A（-1，0），B（m，0），与y轴交于点C（0，-2），且ACB=90（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E，求点D和点E的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使以点P，B，D为顶点的三角形与三角形AEB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）在直角ABC中，COABOC2=OAOB22=1m即m=4B（4，0）把A（-1，0）B（4，0）分别代入y=ax2+b
8、x-2，并解方程组得a=12，b=-32，y=12x2-32x-2；（2）把D（1，n）代入y=12x2-32x-2得n=-3，D（1，-3）解方程组y=x+1，12x232x2得x1=6，y1=7，x2=1，y2=0.，E（6，7）（3）作EHx轴于点H，则EH=AH=7，EAB=45由勾股定理得：BE=53，AE=72，作DMx轴于点M，则DM=BM=3，DBM=45由勾股定理得BD=32假设在x轴上存在点P满足条件，EAB=DBP=45，EADBABPB或EAPBABDB，即7232=5PB或72PB=532，PB=157或PB=425，OP=4-157=137或OP=4-425=-22
9、5在x轴上存在点P（137，0），（-225，0）满足条件【专题提升】3. 已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点如图1，设k=AFAD，当k为何值时，CF=12AD？如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由【解析】（1）抛物线y=ax2+bx+3过点A（-3，0），B（1，0），9a3b+3=0，a+b+3=0解得：a=1，b=2，抛物线解析式为y=-x2-2x+3；y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4顶点D的坐
10、标为（-1，4）；（2）在RtAOC中，OA=3，OC=3，AC2=OA2+OC2=18，D（-1，4），C（0，3），A（-3，0），CD2=12+12=2AD2=22+42=20AC2+CD2=AD2ACD为直角三角形，且ACD=90CF12AD，F为AD的中点，AFAD12，k12在RtACD中，tanCAD=DCAC23213，在RtOBC中，tanOCBOBOC13，CAD=OCB，OA=OC，OAC=OCA=45，FAO=ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与ABC相似，则可分两种情况考虑：当AOF=ABC时，AOFCBA，OFBC，设直线BC的解析式为y=kx+b，k+b=0，b
11、=3，解得：k=3，b=3，直线BC的解析式为y=-3x+3，直线OF的解析式为y=-3x，设直线AD的解析式为y=mx+n，k+b4，3k+b0，解得：k2，b=6直线AD的解析式为y=2x+6，y2x+6，y3x，解得：x=65，y=185，F（-65，185）当AOF=CAB=45时，AOFCAB，CAB=45，OFAC，直线OF的解析式为y=-x，yx，y2x+6，解得：x=2，y=2F（-2，2）综合以上可得F点的坐标为（-65，185）或（-2，2）4.如图，抛物线y=3+36x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO=3AO=3，过点B的直线与y轴
12、正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC=3CD（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上当ABD与BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标【解析】（1）BO=3AO=3，点B（3，0），点A（-1，0），抛物线解析式为：y=3+36（x+1）（x-3）=3+36x2-3+33x-3+32，b=-3+33，c=-3+32.（2）如图1，过点D作DEAB于E，CODE，BCCDBOOE，BC=3CD，BO=3，3=3OE，OE=3，点D横坐标为-3，点D坐标为（-3，3+1），设直线BD的函数解析式为：y=kx+b，由题意可
13、得：3+1=3k+b，0=3k+b解得：k=33，b=3，直线BD的函数解析式为y=-33x+3.（3）点B（3，0），点A（-1，0），点D（-3，3+1），AB=4，AD=22，BD=23+2，对称轴为直线x=1，直线BD：y=-33x+3与y轴交于点C，点C（0，3），OC=3，tanCBO=COBO=33，CBO=30，如图2，过点A作AKBD于K，AK=12AB=2，DK=AD2AK2=84=2，DK=AK，ADB=45，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），若CBO=PBO=30，BN=3PN=2，BP=2PN，PN=233，BP=433，当BADBPQ，BPBABQBD，BQ=433（23+2）4=2+233，点Q（1-233，0）；当BADBQP，BPBDBQAB，BQ=433423+2=4-433，点Q（-1+433，0）.若PBO=ADB=45，BN=PN=2，BP=2BN=22，当DABBPQ，BPADBQBD，2222BQ23+2，BQ=23+2点Q（1
