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1、专题12 定弦定角构造辅助圆【专题导入】1.（1）如图1，A,B,C,D,E都是O上的点，已知A=55，则B=_，C=_. 图1（2）思考：如图2，已知A=B=C，试问A,B,C三点在什么图形上？ 【答案】（1）55 55；（2）在以DE为弦，且DE所对的圆心角为2A的圆弧上.【方法点睛】*常用的角度：90.90角所对的弦为直径.【例1】问题提出：（1）如图1，已知线段AB，试在线段外确定一点P，使得PAPB，画出满足条件的点P的位置（尺规作图，保留作图痕迹）. 图1问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AD=12，AB=10，且在矩形内部存在一动点P，使得PDPC，连接BP，试求BP的最
2、小值.【解析】（1）如图所示，O即为所求轨迹.（2）如图所示，点P在半圆O上运动，连接BO，交O于点P，此时点BP取得最小值.BO=BC2+OC2=13.BP=BO-OP=13-5=8.同步练习1.如图，半径为4的O中，CD为直径，弦ABCD且过半径OD的中点，点E为O上一动点，CFAE于点F当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为_.提示：点E是动点，点F也随着E的移动而移动，不变的是AFC=_，AFC所对的边AC的长度也不变，由此得出点F的轨迹是_.【解析】如图，ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆.当E位于点B时，CGAE，此时F与G重合；当E位于D
3、时，CAAE，此时F与A重合，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长AG.易得AC=43，ACG=30，即AG所对的圆心角为60.AG的长为6023180=233【例2】如图，ABC为等边三角形，AB2若P为ABC内一动点，且满足PABACP，则线段PB长度的最小值为 【解析】ABC是等边三角形，ABCBAC60，ACAB2，PABACP，PAC+ACP60，APC120，点P的运动轨迹是AC，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PAPC，OBAC，则ADCD=12AC1，PACACP30，ABD=12ABC30，PD33，BD=3AD=3，PBB
4、DPD=333=233【专题过关】1.如图，点D在半圆O上，半径OB=61，AD=10，点C在上移动，连接AC，H是AC上一点，DHC=90，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BMDHAC，AHD=90，点H在以M为圆心，MD为半径的M上，当M，H，B共线时，BH的值最小，AB是直径，ADB=90，BD=（261）2102=12，BM=BD2+DM2=13.BH的最小值为BM-MH=13-5=82.如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将ABC绕点A逆时针旋转得AEF，连接CF，O为CF的中点
5、，连接OE，OD当=360时，若AB=42，请直接写出点O经过的路径长【解析】连接AO，如图所示：AC=AF，CO=OF，AOCF，AOC=90，点O在以AC为直径的圆上运动，=360，点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，AC=2AB=242=8，点O经过的路径长为：d=83.（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易例如：如图1，在ABC中，AB=AC，BAC=90，D是ABC外一点，且AD=AC，求BDC的度数若以点A为圆心，AB为半径作辅助A，则点C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆
6、周角，从而可容易得到BDC=_（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，BAD=BCD=90，BDC=25，求BAC的数（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_【解析】（1）如图1，AB=AC，AD=AC，以点A为圆心，点B、C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，BDC=12BAC=45.故答案是：45.（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、COBAD=BCD=90，点A、B、C、D共圆.BDC=BAC，BDC=25，BAC=25.（3）
7、如图3，在正方形ABCD中，AB=AD=CD，BAD=CDA，ADG=CDG，在ABE和DCF中，AB=CD，BAD=CDA，AE=DF，ABEDCF（SAS），1=2，在ADG和CDG中，AD=CD，ADG=CDG，DG=DG，ADGCDG（SAS），2=3，1=3，BAH+3=BAD=90，1+BAH=90，AHB=180-90=90，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH=AO=12AB=1，在RtAOD中，OD=AO2+AD2=12+22=5.根据三角形的三边关系，OH+DHOD，当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值=OD-OH=5-1（解法二：可以理解为点H是在RtAHB，
8、AB直径的半圆AB上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）4.如图，在RtABC中，BCAC2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的O交BM于N，则线段AN的最小值为 【答案】5-1【解析】如图1，连接CN，CM是O的直径，CNM=90，CNB=90，点N在以BC为直径的O上，O的半径为1，当点O、N、A共线时，AN最小，如图2，在RtAOC中，OC=1，AC=2，OA=OC2+AC2=5，AN=AO-ON=5-1，即线段AN长度的最小值为5-15. 如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，AE=CD，连接AD，BE交于点P（1）求证：APB=120；（2）若等边
9、三角形ABC的边长为26，CP的最小值是多少？【解析】（1）ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=ACB=60在ABE和CAD中，ABCA，BAEACDAECD，ABECAD（SAS）ABE=CADCAD+BAD=60，ABE+BAD=60BPD=ABE+BAD=60ABDBCE（SAS）BAD=CBEAPE=ABE+BAD，APE=BPD，ABE+CBE=60，BPD=APE=ABC=60APB=120点P的运动轨迹是点O为圆心，半径为OA的弧AB，且AOB=120如图所示，连接COOA=OB，CA=CB，OC=OC，AOCBOC（SSS）OAC=OBC，ACO=BCO=30AOB+ACB
10、=180，OAC+OBC=180OAC=OBC=90AB26，OBr22COOB2+BC2=(22)2+(26)2=42OP=22PC的最小值为OC-r=4222=22故答案为：22【专题提升】6. 已知以AB为直径的圆O，C为AB的中点，P为BC上任意一点，CDCP交AP于D，连结BD，若AB=6，求BD的最小值.【解析】如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则AQC=90，连接AC，BC，BQO的直径为AB，C为AB的中点，APC=45，又CDCP，DCP=90，PDC=45，ADC=135，点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的AC，又AB=6，C为AB的中点，ACB是等腰直角
11、三角形，AC=32，ACQ中，AQ=3，BQ=32+62=35，BDBQ-DQ，BD的最小值为35-37.如图1，在正方形ABCD中，AB=4，点E,F是线段DC,AD上的动点且EC=FD.连接BE,CF交于点G.（1）求BGC的度数；（2）连接DG，求DG的最小值.（3）如图2，若点I是BCG的内心，求ID的最小值. 图1 图2【解析】（1）由BCECDF易得BGC=90.（2）BGC=90，所对的边BC是定长，点G在以BC为直径的圆弧上运动（具体轨迹为14个圆）.取BC中点O，连接DO，交圆弧于点H.此时HD即为GD的最小值.HD=OD-OH=OC2+DC2-OH=25-2.（3）点I为BGC的内心，BGC=90.连接BI,CI，易得BIC=135.如图，故点I在以K为圆心，KB为半径的圆弧上运动（具体轨迹为18个圆）.其中BKC是等腰直角三角形，BKC=90.连接KD，交K于点I，此时ID取最小值.过点K作DC的垂线，与DC延长线交于点L.连接KC，易得KLC是等腰直角三角形，KL=CL=12BC=2.DL=DC+CL=6.KD=KL2+DL2=210.ID=KD-IK=KD-BK=KD-22BC=210-22.
