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1、作为数学建模活动的应用问题的选材标准数学建模活动是将某一领域的某一实际问题，经过抽象、简化，明确变量和参数，并依据某种“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系（即数学模型），然后求解该数学问题,并对此结果进行解释和验证，若通过，则可投入使用，否则将返回去，重新对问题假设进行改进。数学建模就是这样一个多次循环执行的过程，它在具体操作中一般按以下流程图进行：实际问题抽象化简假设、确定参量变量组建数学模型估计参数运行模型中学数学建模活动往往可以少“估计参数”与“重新建模”，故中学数学建模活动就是应用数学语言和方法对一个实际问题所作的设计。中学数学中的应用问题教学不全属于中学数学建模活动，只有符合
2、以上流程图的应用问题才属于数学建模范畴，其它的只属于数学求解的应用问题。作为数学建模活动的应用问题的教学是中学数学全面培养学生的数学应用意识和应用能力，全面提高学生综合分析问题和解决实际问题的重要手段，也是培养和提高学生数学素质的重要方法。在实际教学中，教师应给学生提供充足的“好”问题，为学生自己发现问题并用数学来解决问题提供经验和范式。近十几年来，国内外（特别是美国和日本）都把利用数学知识解决实际问题能力的培养作为数学教育的核心，在数学建模应用问题教学中选择“好”材料，设计“好”练习尤为重要。怎样才算“好”的问题呢？一道好的数学建模应用问题，应该充分考虑以下几个方面：贴近学生的数学现实，适合
3、学生的知识和能力水平，求解中不需要补充大量的课外知识；有较明显的生产、生活或理化等其它学科的实际背景和应用价值；求解中能充分体现数学建模的特点和过程，并可以在不同水平上运用多种模型来分析和求解；有较强的挑战性、探索性、可延展性和趣味性；最好还能发挥计算机在求解中的作用。具体地说，作为数学建模活动的应用问题在选材上应具有以下特点：1所给的材料具有原始性材料的原始性能突出问题的时代背景，能让学生充分联系实际解决问题，并能在解决问题中了解时代的特征，使问题具有社会性和实际应用价值。例1：据经济日报1995年8月24日报道记者采访建设部部长侯捷谈工薪阶层购房问题，侯部长说：“住房造价每平方米1000元
4、左右，还可以采用个人购房抵押贷款的方式解决一次性付款有困难的问题，比如首先支付40%的房款，余下的分10年还清。”根据以上提供的材料解决下面问题：若职工小李将全部积蓄的本息13334元恰好付掉了40%的购房款，其余部分向银行贷款支付，若银行贷款的年利率为10%，按复利计算，这笔款必须从贷款之日起，每年等额归还一次，问小李每年应归还多少元钱（精确到1元）？这一例子从经济日报的报道引入，使问题具有很强的真实性和实际应用性，能通过解决问题培养学生数学实际应用意识，为今后在社会上应用数学打下基础。2建模材料具有适度的隐蔽性在题目陈述材料中，条件应该具有适度的隐蔽性，不能把数学模型也建立起来，否则该题将
5、无异与一道纯数学问题，从而失去意义。条件的适度隐蔽，可以培养学生全面深入的思维能力和实际操作能力。例2：用汽船拖载重量相同的小船若干只，在沈家门与普陀两地之间来回运送货物。已知每只汽船拖4只小船一日能往返16次，每只汽船拖7只小船一日能往返10次，如果小船增多的只数与往返减少的次数成正比，问每日往返多少次，每只汽船拖多少只小船才能使运输量最大？这一问题中由于变量的增多，使建模增加了隐蔽性，同时也增加了建模难度。分析：设每只汽船拖m只小船，每日能往返n次，每只小船每次载重量为t(t0),日往返总量为w。则小船增加的只数为m-4,每日往返减少的次数为16-n，由题设可知：m-4=k(16-n)(其
6、中k为比例系数),且当m=7时，n=10故有k=1/2n=24-2m(0w=nmt=(24-2m)mt(建立二次函数模型)=-2t(m2-12m)=-2t(m-6)2+72t72t(当且仅当时m=6等号成立)当m=6,n=12时取最大值72t.原问题的解:当汽船每日往返12次,每只汽船拖6只小船才能使运输量最大.3.问题的解应具有一定的不确定性题目所给的材料在尽量保持实际问题的原貌,对实际问题的叙述不能过于简洁明了但条件充分的基础上,应保持其应有的复杂性和不确切性,即要有一定程度的”开放性”,培养学生通过分析问题提出解决问题的能力.例3:有一块铁皮零件,其形状是由边长为40cm的正方形CDEF
7、截取一个三角形ABF所得的五边形ABCDE(如图所示),其中AF=12cm,BF=10cm.现需截取一块矩形铁皮,使其两边在CD、DE上,请问应如何截取才能使该零件的利用率最高?分析:该题能较好地体现建模的开放性:首先,学生要明确零件利用率最高的含义;其次,建模过程需分P点的位置;最后,求解的结果最具开放性,学生可以从以下几个方面来回答:AP与BP的长度；P分AB的比；PM与PN的长度；PQ与PR的长度；CM与ME的长度；4.求解过程最好能体现“一题多模”“一题多模”不光指一个问题可以用若干个不同的模型来解决，还指在一个问题的求解中需要若干个相互关系的模型。例4：在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫
8、致富，企业甲将经营状况良好的某种专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款还没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工某月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）。在甲提供的材料中有：这种消费品的进价每件14元；该店月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如土所示；每月需各种开支2000元。试问：（1）为使该店至少能够维持职工生活，商品的价格应控制在何范围？（2）当商品的价格为每件几元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求这个最大值。（3）企业乙只依靠该店，最早可望在几年内脱贫？剖析：这是一道解题过程中需要建立若干个相互关联的
9、数学模型的应用问题。首先应建立Q与P的函数关系模型，然后要利用这一关系建立利润余额模型，最后要建立脱贫不等式模型。几个数学模型逐步加深，后面的模型以前面的模型为基础。5建模思维过程应具有广阔性数学建模应用问题的求解过程应能充分体现着一特点，建模过程应与生产、生活或其它学科紧密相关，使思维更具广阔性，同时也使数学更具有应用性。例5：（1）一架直升飞机用匀加速am/s2从地面垂直起飞，已知飞机上升过程中每秒钟的耗油量y=pa+q(其中p、q为常数)，问应如何起飞才能使飞机上升到H米高空的过程最为经济？（2）有浓度为80%的溶液1000克，我们把从中倒出200克后加入200克水摇匀称为一次操作，现要得到浓度不高于20%的溶液用于生产，问至少要进行几次这样的操作？
