广 州 至 慧 教 育学生姓名就读年级授课日期教研院审核【知识点回顾 】1. 函数的概念一般地，设 A、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f，对于集合 A 中的每一个（任意性） 元素 x，在集合 B 中都有（存在性） 唯一（唯一性） 的元素 y 和它对应，这样的对应叫做集合 A 到集合 B 的一个函数 （三性缺一不可） 函数的本质： 建立在两个非空数集上的特殊对应这种 “特殊对应 ”有何特点： 1).可以是 “一对一 ” 2).可以是 “多对一 ” 3).不能 “一对多 ”4). A 中不能有剩余元素 5).B 中可以有剩余元素判断两个函数相同： 只看定义域和对应法则2. 映射的概念一般地，设 A、B 是两个集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f: Ａ→Ｂ 为从集合 A 到集合 B 的一个映射（ mapping）思考：映射与函数区别与联系？函数——建立在两个非空数集上的特殊对应 映射——建立在两个非空集合上的特殊对应 1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射．2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数．3）映射与函数都是特殊的对应思考：映射有“三性” ：①“有序性”：映射是有方向的， A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射；②“存在性”： 对于集合 A 中的任何一个元素，集合 B 中都存在元素和它对应；③“唯一性”：对于集合 A 中的任何一个元素， 在集合 B 中和它对应的元素是唯一的 .3. 用映射定义函数(1).函数的定义： 如果 A 、B 都是非空数集， 那末 A 到 B 的映射 f:A → B 就叫做 A →B 的函数。
记作： y=f (x).（2）定义域： 原象集合 A 叫做函数 y=f (x)的定义域C B)（3）值域： 象的集合 C 叫做函数 y=f (x) 的值域定义： 给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 a∈A ， b∈B如果元素 a 和元素 b 对应，那么我们把元素 b 叫做元素 a的象，元素 a 叫做元素 b 的原象给定映射 f： A→B则集合 A 中任何一个元素在集合 B 中都有唯一的象，而集合 B中的元素在集合 A 中不一定都有原象，也不一定只有一个原象问题 1： 下图中的（ 1）（ 2）所示的映射有什么特点？答：发现规律：（1）对于集合 A 中的不同元素，在集合 B 中有不同的象， 我们把这样的映射称为 单射2）集合 B 中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为 满射定义： 一般地，设 A、B 是两个集合 f：A→ B 是集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射下，对于集合 A 的不同元素，在集合 B 中有不同的象，且 B 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做 A 到 B 上的一 一映射单 满一 一 映注意： 1）一 一映射是一种特殊的映射： A 到 B 是映射， B 到 A 也是映射。
2）映射和一一映射之间的充要关系，映射是 一 一映射的必要而不充分条件3）一 一映射： A 和 B 中元素个数相A等 B0 0例 2： 判断下面的对应是否为映射 ，是否为一一映射？1 11） A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64}, 对应法则 f： a2→ b = (a-1)2 44 9答：是映射，不是一一映射 （如右图所示可以很容9易可能出 ） 642）A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4}, 对应法则 f：求平方根 ？ 答：不是映射3）A=Z ， B=N* ，对应法则 f：求绝对值？ 答：不是映射4） A={11,16,20,21},B={6,2,4,0}, 对应法则 f：求被 7 除的余数答：是映射，且是一一映射例 3：已知集合Ａ＝Ｒ，Ｂ＝｛ (x,y)|x,y ∈Ｒ｝， f 是从Ａ到Ｂ的映射 f:x →(x+1,x 2) .（１）求 2 在 B 中的对应元素（２） (2,1)在Ａ中的对应元素解:（ 1）将 x= 2 代入对应关系，可得其在Ｂ中的对应元素为（ 2 +1，2）（2）由题意得： x+1=2x2=1 ∴x=1 即（ 2,1 ）在 A 中的对应元素为 1例 4： 设集合 A={a 、b},B={c 、d、e}（ 1）可建立从A 到 B 的映射个数.（ 2）可建立从B 到 A 的映射个数.答： 9,8（可以试着画图看看）小结：如果集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，那么从集合 A 到集合 B 的映射共有 nm 个。
映射例题精解 】例 1 在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？ 设 A={1,2,3,4} ，B={3,5,7,9} ，对应关系是 f(x)=2x+1,x 属于 A设 A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3} 对应关系是‘ A 中的元素开平方’设 A=R，B=R,对应关系是 f(x)=x 的 3 次方， x 属于 A设 A=R,B=R,对应关系是 f(x)=2x 的 2 次方+1， x 属于 A解析： 1、是一一映射，且是函数2、不是映射（象是有且唯一）3、是一一映射，且是函数4、是映射，但不是函数，因为 B 中不是所有值在 A 中都有对应例 2 设 A={a,b,c},B={0,1}, 请写出两个从 A 到 B 的映射从 A 到 B 的映射共有 2^3=8 个：（ a，b，c） →（ 0， 0， 0）；（ a，b，c） →（ 0， 0， 1）；（ a，b，c） →（ 0， 1， 0）；（ a，b，c） →（ 1， 0， 0）；（ a，b，c） →（ 0， 1， 1）；（ a，b，c） →（ 1， 0， 1）；（ a，b，c） →（ 1， 1， 0）；（ a，b，c） →（ 1， 1， 1）。
例 3 假设集合 m={0 -1 1} n={-2 -1 0 1 2} 映射 f :M→N 满足条件 “ 对任意的 x 属于 M ,x+f(x) 是奇数 ” ，这样的映射 有 个① 当 x=-1 时，x+f(x)=-1+f(-1) 恒为奇数，相当于题目中的限制条件 “ 使对任意的 x 属于 M，都有 x+f(x) 是奇数 ”f(-1)=-2,0,2② 当 x=0 时， x+f(x)=f(0), 根据题目中的限制条件 “使对任意的 x 属于 M，都有 x+f(x) 是奇数 ” 可知 f(0) 只能等于 -1 和 1③ 当 x=1 时， x+f(x)=1+f(1) 恒为奇数f(1)=-2,0,2综上 ①②③ 可知，只有第 ②种情况有限制，所以这样的映射共有 323=18 个例 4 设集合 A={-1 ，0， 1} B={2 ， 3， 4， 5，6 } 从 A 到 B 的映射 f 满足条件 ：对每个 X∈A 有 f （ X）+X 为偶数 那么这样的映射 f 的个数是多少？映射可以多对一，要让 f （ X）+X＝偶数，当 X＝－ 1 和 1 时，只能从 B中取奇数，有3，5 两种可能，当 X＝0 从 B 中取偶数有 2 4 6 三种，则一共有 223＝ 12 个以后你学了分步与分类就很好理解啦，完成一件事有两类不同的方案 , 在第一类方案中有 m种不同的方法 , 在第二类方案中有 n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有N=m+n中不同的方法 , 这是分类加法计数原理 ; 完成一件事需要两个步骤 , 做第一步有m种不同的方法 , 做第二步有 n 种不同的方法 . 那么完成这件事共有 N=mn种不同的方法例 5 已知：集合 M{ a, b, c} ， N{ 1,0,1}，映射f : M N 满足f (a)f (b)f (c) 0 ，那么映射 f : M N 的个数是多少？思路提示：满足f (a)f (b)f (c) 0 ，则只可能 0 0 0 0 1 ( 1) 0 ，即f (a) 、f (b) 、f ( c)中可以全部为 0 ，或 0,1, 1各取一个．解：∵f ( a)N, f (b)N , f (c)N ，且f (a)f (b)f (c) 0∴有 0 0 0 0 1 ( 1) 0．当 f (a)f (b)f (c) 0 时，只有一个映射；当 f (a)、f (b)、f (c) 中恰有一个为 0 ，而另两个分别为 1，－1 时，有 3 2＝6 个映射．因此所求的映射的个数为 1＋6＝7 ．例 6 给出下列四个对应：① ② ③ ④其构成映射的是 （ ）A 只有①② B 只有①④ C 只有①③④ D 只有③④ 答案： B提示：根据映射的概念，集合 A到集合 B 的映射是指对于集合 A中的每一个元素，在集合 B 中都有唯一确定的值与之相对应，故选择 B ．例 7．若函数f (x) 满足f ( x y)f ( x)f ( y)x, y R ，则下列各式不恒成立的（ ）答案： D提示：令 y0 有 f ( x)f ( x)f (0) ，f (0) 0 ， A正确．令x y1 ，有f (3)f (2)f (1)f (1)f (1)f (1) 3 f (1)， B 正确．令 x y1 ，有f (1)1 1 1， 1 1f (1) ， C 正确．f ( )f ( ) 2 f ( )f( )2 2 2 2 2 2令 y x ，则f (0)f (x)f ( x) ．由于 f (0) 0 ，f ( x)f ( x) ，于是当 x y0 时， f ( x)f ( x) 0 ，故 f ( x)f ( x) 0 不恒成立，故选 D ．例 8．已知集合 P{ x 0x 4} ， Q{ y 0y 2} ，下列不表示从 P 到Q 的映射是（ ）提示： C 选项中 f : x y答案： C2 x ，则对于 P 集合中的元素 4，对应的元素 8 ，不在集合 Q 中，例 9．集合 A {3, 4} ，B3 3不符合映射的概念．{5, 6 , 7} ，那么可建立从 A到B 的映射个数是 ，从B到 A 的映射个数是 ．答案： 9 , 8提示：从 A 到B 可分两步进行：第一步 A中的元素 3 可有 3 种对应方法（可对应 5 或 6或 7），第二步 A中的元素 4 也有这 3 种对应方法． 则不同的映射种数 N1 3 3 9 ．反之从B 到 A ，道理相同，有 N2 2 2 2 8 种不同映射．例 10．如果函数f ( x。