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1、2021 年下半年中学校教师资格考试真题试卷数学学科学问与教学力量初级中学一、单项选择题本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分 1.与向量 a=(2,3,1)垂直的平面是A.x-2y+z=3B.2x+y+3z=3 C.2x+3y+z=3D.x-y+z=32. limx0tan 3x 的值是x cos xA.0B.1C.3D. 3. 函数 f(x)在a,b上黎曼可积的必要条件是f(x)在a,b上 A.可微 B.连续C.不连续点个数有限 D.有界4. 定积分 ab1 - x 2 dx (a 0,b 0)的值是aA.p ab B.p ab- ap ab2p abC.D.345.与向量a =
2、(1,0,1), b = (1,1,0)线性相关的向量是A.(3，2，1)B.(1，2，1)C.(1，2，0)D.(3，2，2)6. 设 f(x)=acosx+bsinx 是 R 到 R 的函数，V=f(x)|f(x)=acosx+bsinx,a,bR是线性空间，那么 V 的维数是A.1B.2C.3D. 7. 在以下描述课程目标的行为动词中，要求最高的是 A.理解 B.了解C.把握 D.知道8. 命题 P 的逆命题和命题 P 的否命题的关系是 A.同真同假 B.同真不同假C.同假不同真 D.不确定二、简答题本大题共 5 小题，每题 7 分，共 35 分9. 求过点(a,0)的直线方程，使该直线
3、与抛物线 y=x2+1 相切。 25 x ” x x 10. 设 D = 13 ， y ” 表示 y 在 D 作用下的象，假设 y 满足方程 x2-y2=1，求 x ” 满足的方程。 y ”11. 设 f(x)是0,1上的可导函数，且 f ” (x)有界。证明：存在 M0，使得对任意x1,x20,1，有 f (x1)- f (x2) M x1- x。212. 简述日常数学教学中对同学进展学习评价的目的。13. 给出完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2 的一种几何解释，并说明几何解释对同学数学学习的作用。三、解答题本大题 1 小题，10 分0, x 1。数学期望 Ex 和方差 Dx 。四
4、、论述题本大题 1 小题，15 分15.论述数学教学中使用信息技术的作用，并阐述使用信息技术与其他教学手段的关系。五、案例分析题本大题 1 小题，20 分 16.案例：如下是某教师教学“代入消元法解二元一次方程组”的主要环节。首先，教师引导同学复习二元一次方程组的有关学问。然后，呈现如下教学例题，让同学独立思考并解决。例题：篮球联赛中，每场都要分出胜败，每队胜 1 场得 2 分，负一场得 1 分。某队 10 场竞赛中得到 16 分，那么这个队胜败场数分别是多少？针对同学的解答，教师给出了如下板书：y=10-x解 1：胜 x 场，那么负(10-x)场，解 2：胜 x 场，负 y 场，那么2x+(
5、10-x)=1610-x=y x + y = 10,2x + y = 16最终，教师强调了两种解法的内在联系，并给出了代入消元法的根本步骤及数学思想。问题：（1） 该教师教学设计的优点有哪些？6 分（2） 该教师教学设计的缺乏有哪些？6 分（3） 代入消元法的根本步骤及数学思想是什么？8 分 六、教学设计题本大题 1 小题，30 分17.教学课题为平行四边形的判定定理：“对角线相互平分的四边形是平行四边形”。请你完成以下任务。（1） 设计一个问题引入该定理，并说明设计意图；10 分（2） 设计定理证明的教学片段，并说明设计意图；10 分（3） 在教学中，为了稳固对该定理的理解，教师设计了如下例
6、题。如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O，点 E,F 是 AC 上的两点， 并且 AE=CF，求证：四边形 BFDE 是平行四边形。请设计此题的变式题，以进一步理解和稳固定理。10 分2021 年下半年中学校教师资格考试数学学科学问写教学力量试题(初级中学)参考答案及解析1. C【解析】在直角坐标系中，平面 Ax+By+Cz+D=0A,B,C,不同时为零的一个法向量是 n=(A,B,C)，故可知向量 a=(2,3,1)为平面 2x+3y+z=3 的法向量，故垂直于平面 2x+3y+z=3。应选 C。2. C【解析】利用等价无穷小因子替换，当 x 0 时，tan3x3x，
7、 所以limtan3 x= lim tan3 x lim1= lim 3x= 3 。x0x cos xx0xx0 cos xx0 x3. D【解析】假设函数(x)在a,b上(黎曼)可积，那么 f(x)在a,b上必有界(可积的必要条件)，故此题选 D。可积的充分条件有以下 3 个：函数在闭区间上连续； 函数在闭区间上有界，且只有有限个连续点；函数在闭区间上单调。由此可排解 B 项和 C 项。在一元函数中，可微肯定连续，连续肯定可积，但反之不成立，故排解 A 项。4. B【解析】定积分ab1 - x 2 dx (a 0,b 0)表示被积函数 y = b与1 - x 2 a a- ax 轴所围成的图
8、形的面积，即椭圆 x2 +a2y2 = 1 在 x 轴上方局部的面积，而椭圆b2x2 + y2= 1 的面积为p，所以a b1 - x 2 dx = p ab 。aba2b2- a a 2pp另一种解法：利用其次换元积分法。令 x=asint，由-axa，得-2 t ，2dx=acostdt，所以a b1 - x 2 dx = p b cos t a cos tdt = abpcos2 tdt =a22- a-p-pp2-pp2-p22p cos2 t + 1ab pab pababp abab2-pdt =222 cos2 tdt +-p22 1dt =sin 2t+t=。-p4222222
9、25. A【解析】方法一：一个向量组中，假设一个向量可由其余向量组线性表出，那么这几个向量必线性相关，假设任意向量都不能被其余向量线性表出，那么这几个向量必线性无关，结合选项可知，只有 A 项可以由向量a, b 线性表出，(3,2,1)=a + 2b 。应选 A。(方法二：向量组a, b,g 线性相关矩阵 A= aT , b T ,g T()的秩小于向量的个数) A = 0 ；向量组a, b,g 线性无关矩阵 A=aT , b T ,g T满秩 A 0 。A 项，113111111012 = 0 ，B 项，012= 2 0 ，C 项， 012 = 1 0 ，D 项，10110110011301
10、2 = 1 0 ，故 A 项中的向量和向量a, 向量b 线性相关，其余三项中的向102量与向量a, 向量b 线性无关。应选 A。6. B【解析】由题意知，线性空间 V 中的每一个元素都是 cosx 与 sinx 的线性组合，而 cosx 与 sinx 是线性无关的这是由于假设存在实数m,n，使得mcosx+nsinx=0 对任意 xR 都成立，那么 m=n=0，因此 cosx 与 sinx 是线性空间 V 的一组基，所以 V 的维数是 2。应选 B。7. C【解析】义务训练数学课程标准2021 年版提出，数学课程目标包括结果目标和过程目标。结果目标使用“了解、理解、把握、运用”等术语表述，过程
11、目标使用“经受、体验、探究”等术语表述。每一组术语中依据从前到后的挨次要求递增，即行为动词按要求的凹凸排序为了解 理解把握运用， 经受体验探究。应选 C。8. A【解析】互为逆否命题的两个命题同真同假。命题 P 的逆命题和命题 P 的否命题同真同假。二、简答题()9. 【解析】设切点为x , x2 + 100，由于抛物线方程为 y=x2+1，那么 y ” = 2x ，过切()点 x , x2 + 100的切线斜率 k=2x0，切线方程为y = 2x (x - x )+ x2 + 1 = 2x x - x2 + 1 ，00000由于切线经过点(a,0)，那么将点(a,0)代入切线方程得2 x0a
12、 - x2 + 1 = 0 ，解得0a2 + 1x= a ，0() ()2a2 + 1a2 + 1a2 + 1所以所求切线方程为 y = 2 a x - a + 1，即a2 + 1()()()()y = 2 a +x - a或y = 2 a -x - a 。10.【解析】由得， D x = 25 x = 2x + 5 y = x ” ，即2x + 5 y = x ”, y 13 y x + 3y y ”x + 3y = y ”, x = 3x ”- 5 y ”,可得 y = - x ”+ 2 y ”,由于 x2-y2=1，所以(3x ”- 5y ”)2 - (-x ”+ 2 y ”)2= 1 ，整理得 8x ”2 - 26x ” y ”+ 21y ”2 = 1 。11. 【解析】当 x1=x2 时结论明显成立。当 x1x2 时，不妨设x1x2，那么函数 f(x)在区间x1,x2上连续，在区间(x1,x2)内可导，由拉格朗日中值定理可得，存在一点x (x1,x2)，使得f (x1)- f (x2)= f ” (x )(x1- x )，那么有 f (x21)- f (x2) = f ” (x ) x1- x。2
