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1、.-优选 6.1 核武器竞赛第六章军事模型问题：甲乙双方（两国），均将对方视为假想敌，在某种“国家安全”的定义下发展核武器，展开核军备竞赛。问题：在这场核军备竞赛中，双方拥有的核武器会无限增长呢，还是存在某种平衡状态？一模型假设1. 分别以、表示甲乙双方拥有的核武器数目，这里视之为非负实数（即连续型变量），以、表示甲乙双方对对方施行一次致命性打击所需的核武器数目；2. 甲乙双方的“国家安全”概念均采用保守定义：即在招到对方“倾泻性”核打击后，保证有足够的核武器被保存下来以给对方致命的还击；3. 分别以、（）表示甲乙双方，其一枚核弹头在遭受对方一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的概率，这里假定不同
2、核弹头在遭受对方一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的机会是相对独立的。二模型建立定性分析模型 ：应当存在二函数、，分别表示当甲乙双方拥有的核武器数目为、时，对方在遵照模型假设中所给出的有关“国家安全”概念，乙 方、甲方所应拥有最少的核武器数目。即当甲方拥有的核武器数目为时，须有时，乙方才会确认自己是安全的。显然，、均应当为单调增函数。这里称为双方安全区，是核军备竞赛的稳定区域。问：是否为空集？若为空集，即说明核军备竞赛是没有尽头的，其终究构成人类持久和平愿望的最大威胁。所附四图仅仅是在双方安全曲线满足单调增函数的条件下给出的四种可能情形，有阴影存在的区域表示存在双方安全区。但实际当中应当是哪一种
3、呢？定量分析模型 ： 在前述模型假设的基础上，不难得到：，即、分别为甲乙双方的安全曲线，而上面附图的后三幅给出的三种可能的典型情形，显然第四幅表示与两者至少有一个满足时方可出现。在模型中涉及到的几个参数的取值，比如影响的主要因素可以考虑双方的国土、一枚核弹爆炸的破坏力，以及各自的防空能力。三模型分析通过定量分析模型得到的结果表明，核武器竞赛是不容乐观的， 要么不存在稳定区域，要么稳定区域是一有界区域。也即表明建立在本文“安全概念”基础上的核武器竞赛从根本上应当撇弃，因为即使在稳定区域非空，由于某一方（或双方）不克制的态度最终导致核武器竞赛的灾难性后果。这一结果与我们对当前国际上一些有核国家在发
4、展核武器的现状有一定距离，考察本模型，应当注意的是在第二条模型假设中提到的“安全概念”，事实上，一个和平国家在发展核武器时所遵循的原则是在遭到强大敌国的全面入侵，核武器应当作为一种先发性威慑力量而进行有效阻止而不应当作为一种后发性的在已遭到毁灭性打击后的纯粹报复行为。事实上在保留模型假设二中提到的“安全概念”，对其余假设作更为贴近问题真相的改进只能导出对核武器竞赛 的前途更加悲观的结论。四 点评本例是在作了相当程度的简化假设下考虑了核武器竞赛问题，我们很难期望模型能对所考虑问题给出比较乐观的指导意义，但其整个建模过程却对我们有很大的启发： 1定性分析与定量分析：在对一个应用问题分析，通常包括定
5、性分析与定量分析这样两个有机统一的环节，定性分析是数学建模的初级阶段，在这一环节着力解决2. 随机性模型：3. 建模的最终目的在于应用： 6.1 核武器竞赛第六章军事模型问题：甲乙双方（两国），均将对方视为假想敌，在某种“国家安全”的定义下发展核武器，展开核军备竞赛。问题：在这场核军备竞赛中，双方拥有的核武器会无限增长呢，还是存在某种平衡状态？一模型假设4. 分别以、表示甲乙双方拥有的核武器数目，这里视之为非负实数（即连续型变量），以、表示甲乙双方对对方施行一次致命性打击所需的核武器数目；5. 甲乙双方的“国家安全”概念均采用保守定义：即在招到对方“倾泻性”核打击后，保证有足够的核武器被保存下
6、来以给对方致命的还击；6. 分别以、（）表示甲乙双方，其一枚核弹头在遭受对方一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的概率，这里假定不同核弹头在遭受对方一枚核弹头袭击后有可能被保存下来的机会是相对独立的。二模型建立定性分析模型 ：应当存在二函数、，分别表示当甲乙双方拥有的核武器数目为、时，对方在遵照模型假设中所给出的有关“国家安全”概念，乙 方、甲方所应拥有最少的核武器数目。即当甲方拥有的核武器数目为时，须有时，乙方才会确认自己是安全的。显然，、均应当为单调增函数。这里称为双方安全区，是核军备竞赛的稳定区域。问：是否为空集？若为空集，即说明核军备竞赛是没有尽头的，其终究构成人类持久和平愿望的最大威胁。
7、所附四图仅仅是在双方安全曲线满足单调增函数的条件下给出的四种可能情形，有阴影存在的区域表示存在双方安全区。但实际当中应当是哪一种呢？定量分析模型 ： 在前述模型假设的基础上，不难得到：，即、分别为甲乙双方的安全曲线，而上面附图的后三幅给出的三种可能的典型情形，显然第四幅表示与两者至少有一个满足时方可出现。在模型中涉及到的几个参数的取值，比如影响的主要因素可以考虑双方的国土、一枚核弹爆炸的破坏力，以及各自的防空能力。三模型分析通过定量分析模型得到的结果表明，核武器竞赛是不容乐观的， 要么不存在稳定区域，要么稳定区域是一有界区域。也即表明建立在本文“安全概念”基础上的核武器竞赛从根本上应当撇弃，因
8、为即使在稳定区域非空，由于某一方（或双方）不克制的态度最终导致核武器竞赛的灾难性后果。这一结果与我们对当前国际上一些有核国家在发展核武器的现状有一定距离，考察本模型，应当注意的是在第二条模型假设中提到的“安全概念”，事实上，一个和平国家在发展核武器时所遵循的原则是在遭到强大敌国的全面入侵， 核武器应当作为一种先发性威慑力量而进行有效阻止而不应当作为一种后发性的在已遭到毁灭性打击后的纯粹报复行为。事实上在保留模型假设二中提到的“安全概念”，对其余假设作更为贴近问题真相的改进只能导出对核武器竞赛的前途更加悲观的结论。四 点评本例是在作了相当程度的简化假设下考虑了核武器竞赛问题，我们很难期望模型能对
9、所考虑问题给出比较乐观的指导意义，但其整个建模过程却对我们有很大的启发： 4定性分析与定量分析：在对一个应用问题分析，通常包括定性分析与定量分析这样两个有机统一的环节，定性分析是数学建模的初级阶段，在这一环节着力解决5. 随机性模型：6. 建模的最终目的在于应用： 7.2 种群竞争问题：在自然环境中，生物种群丰富多彩，它们之间通常存在着或是相互竞争， 或是相互依存， 或是弱肉强食等这样的三种基本关系。在本章， 我们将从稳定状态的角度，对具有如上提及的某种关系的两个种群的人口发展进行讨论。设想有两个种群为了争夺有限的同一食物来源和生活空间时， 从长远的眼光来审视，其最终结局是它们中的竞争力若的一
10、方首先被淘汰， 然后另一方独占全部资源而以单种群模式发展； 还是存在某种稳定的平衡状态， 两个物种按照某种规模构成双方长期共存？这里不妨将我们讨论的对象想象为生活在同一草原上的羚羊和老鼠。一 模型假设以、表示处于相互竞争关系中甲、乙二种群在时刻的数量，1. 资源有限，设为，分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；2. 种群数量的增长率与该种群数量成正比，同时也与有闲资源成正比；3. 各种群在对所占据资源的利用上是不充分的，分别表示甲、乙二种群对对方以占用资源的相对挑剔程度，通俗的讲，是在对方用过的盘子里捡“剩骨头”。比方，若时，表示在甲种群看来，乙种群是“奢侈的”，它
11、可以在乙种群用过的盘子里捡到“剩骨头”，若时，说明甲种群在食物选择上是“过分”挑剔的，或者可理解为，对于甲种群，乙种群在资源利用上对资源有破坏性；换一个说法，反映了甲、乙二种群适应能力，越小、越大，则甲种群的相对适应能力越强；4. 分别表示甲、乙二种群的固有增长率。二 模型建立根据模型假设，可得如下数学模型：经化简，得：三 模型求解令，可得该模型的四个平衡点：、。先讨论平衡点的稳定性，为此，将微分方程的右端项以其在的一阶 Taylor 展式取代，构造线性动力系统，此 时 系数 矩 阵， 其 二 特 征 值（，），故是不稳定性的（结点）；就平衡点，将微分方程的右端 项以 其在的 一 阶Taylo
12、r展 式取 代， 构造 线性 动力 系统，此时系数矩阵，其二特征值，当且仅当，平衡点是（局部） 稳定的；类似可以得平衡点是（局部）稳定的充要条件为；平衡点只有在第一象限内方有实际意义，为此应有同时大于“ 1”或同时小于“ 1”，采用类似的分析，可以得到当同时大于“ 1”时，平衡点为一鞍点，是不稳定的；当同时小于“ 1”时，平衡点为一稳定的结点。第五章几个经济模型 5.1 实物交换模型一问题分析与模型假设:1. 讨论甲、乙双方，限于A、B 两种物品；2. 以、分别表示甲方、乙方拥有A、B 两种物品的量，以、分别表示甲方、乙方相应的满意程度，称之为满意度函数；3. 以、分别表示甲方、乙方在交易前拥
13、有A 、B 两种物品的量。二模型建立：显然甲、乙双方均希望通过交易以得到更大的满意度，即从甲方的角度， 应极大化，从乙方的角度， 应极大化，当然还应考虑一些约束条件， 我们一并归结为如下多目标最优化问题：三模型求解：作定性的分析，满意度函数、应具有如下性质：1. 满意度函数连续、非负，且对各自变量单调递增，即；2. 考察满意度函数的等值线（族），这里称之为甲方的无差别曲线（族），应满足： 对不同的二常数，无差别曲线与不交；若将视为一隐函数，变量对于变量单调递减；曲线为下凸的，即在通常情况下，人们当在拥有一种物品（A）的量相对多时，倾向以较多的这种物品（A）来换取较少的另一种物品（ B）。3. 而满足如上特点的函数类有很多，比如（其中为参数）、（其中为参数）、（其中为参数）等。进而可得，问题的一个有效解须满足的必要条件：1，；23，即，；。所有有效解构成一段有限曲线段，称之为交换路径 。 4.2 允许缺货的确定性贮存模型我们经常遇到这样的情形： 当我们到一家商店中购买一件物品时，被店员告知该物品缺货在本节我们讨论一个允
