第九章完全四边形的性质及应用【基础知识】我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形六个点可分成三对相对的顶点,它们的连线是三条对角线如图 91,直线 ABC 、BDE、 CDF 、AFE两两相交于A、B、 C 、D、E、F六点 ,即为完全四边形ABCDEF 线段AD、BF、 CE 为其三条对角线完全四边形中既有凸四边形、凹四边形,还有折四边形以及四个三角形如图91 中有凸四形ABDF,凹四边形 ACDE ,折四边形 BCFE ,四个三角形ACF、BCD、DEF、ABE在完全四边形ABCDEF 中,对四个三角可以写出梅涅劳斯定理的4 个式子（见图1 1后说明）；若直线AD交BF于H,交 CE 于 G ,则可以写出塞瓦定理的7 个式子（见图23 ） ；利用空全四边形及其对角线的相交可以讨论梅涅劳斯定理与塞瓦定理的互推（图22） ；完全四边形的四个三角形的外接圆共点（即完全四边形的密克尔点及西姆松线（见图67） ）等这是我们已介绍的完全四边形的性质,完全四边形还有一系列有趣的性质,下面我们介绍其中的几条：性质 1 设M为完全四边形ABCDEF 的密克尔点（1）若B、 C 、E、F四点共圆于O ,则M点在对角线AD所在直线上 ,且 OMAD ；（2）若A、B、D、F四点共圆于O ,则M点在对角线CE 上,且 OMCE 注此性质还可参见例10（9）,例 11（3） 、 （5） OBKC(a)MDFEOBMCFAE图9-2(b)D证明（ 1）如图 92 （a） 设过B、 C 、D三点的圆交直线于点M,则 ADAMAB ACAE AF ,即知点M在DEF的外接圆上 ,亦即知点M就是完全四边形ABCDEF 的密克尔点M设K为AM延长线上一点 ,由2CMECMKKMECBECFECFECOE ,知 C 、E、O 、M四点共圆于是1902OMKOMEEMKOCECOE,即证（2）如图 92 （b） 同（ 1）可证过B、 C 、D三点的圆与CE 的交点即为完全四边形ABCDEF 的密克尔点M由圆幂定理（即点对O 的幂）有222COCD CFRCMCER , 222EDED EDREMECR （其中R为O 半径） 上述两式相减 ,有2222COEOCE CMMECMME 由定差幂线定理,知 OMCE 推论 1 在完全四边形ABCDEF 中,凸四边形ABDF内接于O ,AD与BF交于点 G ,则CDB 、CFA 、EFD 、EAB 、OAD 、OBF 六圆共点；CFB 、CDA 、GAB 、GDF 、OBD 、OFA 六圆共点；EFB 、EAD 、GBD 、GFA 、OAB 、ODF 六圆共点事实上 ,可设M为完全四边形ABCDEF 的密克尔点 ,则由性质1 （2）,知M在 CE 上,且 OMCE 于是 ,知 C 、M、D、B及M、E、F、D分别四点共圆 ,有9090BMOBMCBDC9018090BDFBDF=11(180)909022BOFBOFBFO 从而知 ,点M在OBF 上同理 ,知点M在OAD 上由密克尔点的性质知,CDB 、CFA 、EFD 、EAB 四圆共点于M故以上六圆共点M同理 ,设 N 为完全四边形CDFGAB 的密克尔点 ,则CFB 、CDA 、GAB 、GDF 、OBD ,OFA 六圆共点于 N 设L为完全四边形EFAGBD 的密克尔点 ,则EFB 、EAD 、GBD 、GFA 、OAB 、ODF 六圆共点于L图9-3l6l5l4l1BDCGMFENL推论 2 如图 93 ,在完全四边形ABCDEF 中,凸四边形ABDF内接于O ,AD与BF交于点 G CDB与CFA 、CDA 与CFB 、OBD 与OFA 、ODA 与OBF 、EAB 与EFD 、EAD 与EFB 、OAB 与ODF 、GAB 与GDF 、GBD 与GFA 共九对圆的连心线分别记为1l ,2l ,3l ,9l ,则1l 、2l 、3l 、4l 、 OC 五线共点于OC 的中点；4l 、5l 、6l 、7l 、 OE 五线共点于OE 的中点；3l 、7l 、8l 、9l 、 OG 五线共点于OG 的中点事实上 ,可设M、L、 N 分别为完全四边形ABCDEF 、 EFAGBD 、 CDFGAB 的密克尔点 ,则 OMCE于M,OLEG 于L,ONCG 于 N 注意到 OM 是ODA 与OBF 的公共弦 ,则4l 是 OM 的中垂线 ,从而知4l 过 OC 的中点 ,4l 也过 OE 的中点因 CN 是CDA 与CFB 的公共弦 ,则2l 是 CN 的中垂线 ,而 ONCN ,从而2l 过 OC 的中点；又注意到CM 是CDB 与CFA 的公共弦 ,则1l 是 CM 的中垂线 ,又 OMCM ,则1l 过 OC 的中点 ,ON 是OBD与OFA 的公共弦 ,则3l 是 ON 的中垂线而ONCN ,3l 过 OC 的中点故1l 、2l ,3l 、4l 、 OC 五线共点于 OC 的中点同理 ,注意到LE、ME、 OL 分别是EAD 与EFB EFD 与EAB 、OAB 与ODF 的公共弦 ,推知4l 、5l 、6l 、7l 、 OE 五线共点于 OE 的中点注意到 GN 、 LG 、 OL 、 ON 分别是GAB 与GDF 、GBD 与GFA 、OAB 与ODF 、OBD 与OFA 的公共弦 ,推知 ,3l 、7l 、8l 、9l 、 OG 五线共点于OG 的中点注由上述推论 ,即知下列竞赛题即为其特殊情形：（1） （1990 年全国高中联赛题）四边形ABCD 内接于圆 ,对角线 AC 与BD交于点P,PAB、PBC、PCD、PDA的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O 求证：13O O 、24O O 与 OP 三线共点（2） （2006 年国家集训队测试题）四边形 ABCD 内接于O ,且圆心 O 不在四边形的边上,对角线 AC 与BD交于点P,OAB、DBC、OCD、ODA的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O 求证：13O O 、24O O与 OP 三线共点性质 2 完全四边形ABCDEF 的三条对角线AD、BF、 CE 的中点M、 N 、P共线（即牛顿线） EQPSFCDBM图9-4NAR证明如图 94 ,分别取 CD 、BD、 BC 的中点 Q 、R、 S,于是 ,在ACD中,M、R、 Q 三点共线；在BCF中 ,S、R、 N 三点共线；在BCE中, S、 Q 、P三点共线由平行线性质 ,有MQACMRAB,HRFDNSFC,PSEBPQED对BCD及截线AFE应用梅涅劳斯定理,有1CABEDEABEDEC,即有1QMRNSPMRNSPQ再对QRS应用梅涅劳斯定理的逆定理,知M、 N 、P三点共线注此性质中的线称为牛顿线,其证明还有10 多种性质 3 完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割（两点内分与外分同一线段成同一比值,称这两点调和分割这一线段）证明如图 95 （a） 、 （b）,在完全四边形ABCDEF 中,对角线AD所在直线交BF于M,交 CE 于 N ,需证AMMDANND（此式表明点M、 N 调和分割AD） NPBDCFAEBDCFANE(b)(a)图9-5MM若 BFCE,如图 95 （a）,则由AMBFMDANCEND,即证若 BFCE ,可设直线BF与 CE 交于点P对ADF及点B应用塞瓦定理,有1AMDCFEMDCFEA对ADF及截线 CNE 应用梅涅劳斯定理,有1ANDCFENDCFEA上述两式相除 ,即得AMMDANND对于图 95 （b）,类似地可证明有BMMFBPNF（M、P调和分割BF） ,CNNECPPE（ N 、P调和分割CE ） ；对于图 95（a） ,也可看作直线BF、 CE 相交于无穷远点,也有这两式性质 4 完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴,且完全四边形的四个三角形的垂心在这条轴上H4H1H2H3BDCFAE图9-6MNP证明如图 96 ,在完全四边形ABCDEF 中,分别以对角线AD、BF、 CE 为直径作圆 ,这三个圆的圆心就是三条对角线的中点M、 N 、P设1H 、2H 、3H 、4H分别为DEF、ACF、ABE、BCD的垂心 ,注意到三角形垂心的性质：三角形的垂心是所有过任一条高的两个端点的圆的根心（见根轴的性质3 及垂心的性质4） 在完全四边形ABCDEF 中,显然1H 、2H、3H 、4H 不重合 ,由于DEF的垂心1H 是三个圆两两根轴的根心,而对于DEF,在它的边所在直线上的高C 、B、A,点1H 关于以 CE 、BF、AD为直径的圆的幂相等,即点1H 在这三个圆两两的根轴上同样 ,对于ACF,在它的边所在直线上的点B、D、E,其垂心2H关于以 CE 、BF、AD为直径的圆的幂相等 ,以及点3H 、4H 均关于以 CE 、BF、AD为直径的圆的幂相等故1H 、2H 、3H 、4H 均在这三个圆的两两的根轴上,即这三个圆两两的根轴重合,亦即共轴 ,且四个三角形的垂心在这条根轴上注证明1H 、2H 、3H 、4H 四点共线 ,也可以这样证： 由于完全四边形ABCDEF 的四个DEF、ACF、ABE、BCD的外接圆交于一点M,且点M关于这四个三角形的西姆松线为同一条直线l ,根据西姆松线的性质： 点P的西姆松线平分点P与三角形垂心的连线 （西姆松定理及应用中例5） ,则知 l 过1MH 、2MH 、3MH 、4MH的中点 ,从而点1H 、2H 、3H 、4H 共线推论 3 完全四边形的垂足线与牛顿线垂直（两圆连心线垂直于公共弦）性质 5 完全四边形的四个三角形的外接圆圆心共圆,这四个圆心每三个构成的三角形的垂心分别在构成完全四边形的四条直线上,且这四个垂心为顶点构成的四边形与四个圆心为顶点构成的四边形全等上述性质即指在完全四边形ABCDEF 中 ,1O 、2O 、3O 、4O 分别为ACF、BCD、DEF、ABE的外心 ,1H 、2H、3H 、4H分别为423O O O、413O O O、241O O O、123O O O的垂心 ,则（1）1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆（斯坦纳圆） ；（2）423O O OACF,123O O OABE,241O O ODEF,413O O OBCD；（3）1H 、2H、3H 、4H分别在BE、AE、 AC 、 CF 上,且四边形1234H H H H 四边形2143O O O O 证明设M为完全四边形ABCDEF 的密克尔点 ,连接BM、2CO 、2O M 、3MO 、DM,则（l）12211801802O O MCO MCDM 同理 ,13180O O MFDM 从而1213360180O O MO O MCDMFDM 因此 ,1O 、2O 、3O 、M四点共圆 同理 ,3O 、4O 、2O 、M四点共圆故1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆H1H3H2H4H4H3O4O2O3O1O1MDBDCFAEO4O2O3O1H4H1H1H2H2H3BMCFAE图9-7(b)(a)（2）由BM为2O 与4O 的公共弦 ,则知24O OBM 同理23O ODM 于是423O O OBMDBCDACF 同理 ,24323180O O OO MOBAFCAF ,故423O O OACF同理 ,123O O OABE于是241O O OBEADEF 又214213314213324O O OO O OO O OO O OO O OCAFACFDFE 从而241O O ODEF同理 ,413O O OBCD（ 3 ） 自2O 作34O O 的 垂 线 交BE于1H点 ,连4BO、2BO 、41O H,由4O 为ABE的 外 心 ,有1490H BOBAE 及1242439090H O OO O OBAE ,知14124H BOH O O ,从 而1H、2O 、B、4O 四点共圆 ,于是14212H O OH BO 又2O 为BCD的外心 ,知12290H BOO BEBCD 于是1424239090H 。