2015 年普通高等学校招生全国统一测试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（ 1）【2015 年广东， 理 1，5 分】若集合M x | (x4)( x1) 0， N x | ( x4)( x1) 0，则 M N （ ）（ A） 1,4 （ B） 1, 4 （ C） 0 （ D ）【答案】 D【分析】M x ( x4)(x1) 0 4, 1， N x ( x4)( x1) 0 1,4， M N 故选 D．（ 2）【 2015 年广东，理 2， 5 分】若复数 zi(3 2i)（ i 是虚数单位） ，则 z （ ）（ A） 2 3i （ B） 2 3i （ C） 3 2i （ D） 3 2i【答案】 A【分析】z i(3 2i) 3i 2 ，z 2 3i ，故选 A ．（ 3）【 2015 年广东，理 3， 5 分】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）x（ A） y1 x21（ B） y x1x（ C） y 2 x（D ）y x ex 2【答案】 D【分析】 A 和 C 选项为偶函数， B 选项为奇函数， D 选项为非奇非偶函数，故选 B．（ 4）【 2015 年广东，理 4， 5 分】袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球， 5 个红球，从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰好有 1 个白球， 1 个红球的概率为（ ）（ A）【答案】 B521C1 C1 1010（ B ）2111（ C）21（ D ） 1【分析】 P10 5C215，故选 B．2212（ 5）【 2015 年广东，理 5， 5 分】平行于直线 2x+y+1=0 且和圆 xy 5 相切的直线的方程是（ ）（ A）2xy50或2xy50（ C）【答案】 A2xy50或2 xy50（ B） 2x y（ D） 2 x y5 0或2 x y 5 05 0或2 x y 5 0【分析】设所求直线为 2 x y c 0 ，因为圆心坐标为 0,0 ，则由直线和圆相切可得 dc c 5 ，解得 c 5 ，所求直线方程为 2x y5 0或2x y5 0 ，故选 A ．22 1 5（ 6）【 2015 年广东，理 6， 5 分】若变量x, y 满足约束条件4 x 5 y1 x 38，则 z3x 2 y 的最小值为（ ）0 y 2（ A） 4 （B ） 23531（C） 6 （ D）5【答案】 B【分析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数z 3 x2 y ，则当目标函数过点1, 8 ， z 3x52 y 取最小值为 235，故选 B．x 2 y2 52 2（ 7【） 2015 年广东，理 7，5 分】已知双曲线 C :a b则双曲线 C 的方程为（ ）1 的离心率e ，且其右焦点为4F2 (5,0) ，22（ A） x y 1x y22（ B ） 12 2（C） x y 1x y22（ D） 14 3【答案】 C9 1616 9 3 4【分析】由双曲线右焦点为F2 (5,0) ，则 c 5 ， e ca5 a 4 ．42 2 2b c a9 ，所以双曲线方程为x y 1 ，故选 C． 16 92 2（ 8）【 2015 年广东，理 8， 5 分】若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值（ ）（ A）至多等于 3 （B ）至多等于 4 （ C）等于 5 （ D）大于 5【答案】 B【分析】 当 n3 时，正三角形的三个顶点符合条件； 当 n4 时，正四面体的四个顶点符合条件， 故可排除 A ，C， D 四个选项，故选 B ．二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．（一）必做题（ 9~13）（ 9）【 2015 年广东，理 9， 5 分】在（【答案】 6x -1 ）4的展开式中， x 的系数为 ．C r x4 r r r1 14 rC r x 2 2 2【分析】 4 4，则当 r2时， x 的系数为1 C4 6 ．（ 10）【2015 年广东，理 10， 5 分】在等差数列 { an}【答案】 10中，若 a3 a4a5 a6a7 25 ，则 a2 a8 ．【分析】由等差数列性质得，a3 a4 a5a6 a75a525 ，解得a5 5，所以 a2 a82a510 ．（ 11）【2015 年广东，理 11，5 分】设 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a3 ， sin B 1 ，2C ，则 b = ．6【答案】 1【分析】sin B1 5, B 或 ，又C ，故 B ，所以， A2由正弦定理得，a b ，所以 b 1 ．2 6 6 6 6 3sin Asin B（ 12）【2015 年广东，理 12，5 分】某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答） ．【答案】 1560【分析】 40 39 1560 ．（ 13）【 2015 年广东，理 13，5 分】已知随机变量 X 服从二项分布【答案】 13B(n, p)，E( X ) 30 ，D ( X ) 20 ， 则 p ．【分析】E X np30 ，D X np(1p) 20 ，解得 p 1 ．3（二）选做题（ 14-15 题，考生只能从中选做一题）（ 14）【2015 年广东，理 14， 5 分】（坐标系和参数方程选做题）已知直线 l 的极坐标方程为 2 sin() 2 ，4点 A 的极坐标为【答案】 5 22A(2 2, 74) ，则点 A 到直线 l 的距离为 ．【分析】2 sin( ) 2 ( 2 sin 2 cos ) 2 sin cos 1 ．即直线 l 的直角坐标方程为4 2 22 2 1 5 2y x 1，即x y 1 0 ，点 A 的直角坐标为 2, 2 ， A 到直线的距离为 d ．2 2（ 15）【2015 年广东，理 15，5 分】（几何证明选讲选做题）如图 1，已知 AB 是圆 O 的直径， AB 4 ， EC 是圆O 的切线，切点为 C ， BC= ．【答案】 81，过圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ，则 OD【分析】 如图所示， 连结 O ，C 两点， 则 OC CD ， OD AC CDO ACD 90ACD CBA，CBA CAB90 ， CDO CAB ，所以 OD OC ，AB BC所以 OD 8 ．三、解答题：本大题共 6 题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（ 16）【2015 年广东，理 16， 12 分】在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m2 , 2 ， nsin x,cos x ，2 2x 0, ．2（ 1）若 m n ，求 tanx 的值；（ 2）若 m 和 n的夹角为，求 x 的值．3解：（ 1）m n2 , 2 sin x,cos x 2 sin x 2 cosx sin x ， m n ， m n 0 ， 即 sin x 0 ，2 2 2 2 4 4sin x40 ，又 x0, ，2 4x ， x4 40 ．即 x4， tan x4tan 1 ． 4（ 2）依题意cos m nsin x4sin ，3 m n2 2 42 2 2 2sin x2 2cos xsin x1 ，又 x4 2, ，4 4 4x ，即 x4 65．6 4 12（ 17）【2015 年广东，理 17， 12 分】某工厂 36 名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639（ 1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；2（ 2）计算（ 1）中样本的均值 x 和方差 s ；（ 3）36 名工人中年龄在 x s 和 x s 之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到 0． 01%）？ 解：（ 1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为 2， 6，10， 14，18， 22，26， 30， 34 的年龄数据为样本．则样本的年龄数据为： 44， 40， 36， 43， 36， 37， 44， 43， 37．（ 2）由（ 1）中的样本年龄数据可得，x 1 44 40 36 43 36 37 44 43 37 40 ，则9s2 1944 40 240 40 236 40 243 40 236 40 237 40 244 40 243 40 237 40 2（ 3）由题意知年龄在= 100 ．940 100，40100之间，即年龄在 37，43之间，9 9由（ 1）中容量为 9 的样本中年龄、在 37，43之间的有 5 人，所以在 36 人中年龄在 37，43之间的有 36 59。
