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1、例1如图所示，在真空室内的P点，能沿纸面向各个方向不断发射电荷量为+q、质量为m的粒子，不计重力，粒子的速率都相同。ab为P点附近的一条水平直线，P到直线ab的距离PCL，Q为直线ab上一点，它与P点相距PQL。当直线ab以上区域只存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场时，水平向左射出的粒子恰到达Q点；当ab以上区域只存在平行该平面的匀强电场时，所有粒子都能到达ab直线，且它们到达ab直线时动能都相等，其中水平向左射出的粒子也恰好到达Q点。求：(1)粒子的发射速率；(2)匀强电场的场强大小和方向。【解析】(1)设粒子做匀速圆周运动的半径为R，过O作PQ的垂线交PQ于A点，如图所示，由几何知
2、识可得：代入数据可得粒子轨迹半径RQOL洛伦兹力提供向心力qvBm解得：。(2)只加匀强电场时由粒子到达ab直线动能相等，知ab为等势面，电场方向垂直ab向下。水平向左射出的粒子经时间t到达Q点，在这段时间内：又CQvt，PCLat2，解得：。例2如图所示，在x0的范围内，存在方向沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E；在x0的范围内，存在圆心为(2L，0)、半径为2L、垂直xOy平面向里的圆形匀强磁场。一个氕核(H)和一个氚核(H)先后从电场中的P(2L，L)点、平行纸面沿x轴正方向以相同的动能射出，已知H从坐标原点O进入磁场，且射出磁场时速度方向与y轴正方向平行，H的质量为m、电荷量为q
3、。不考虑重力，求：(1)H从P点射出时的动能；(2)磁场磁感应强度的大小；(3)H射出磁场时速度的方向。【解析】(1)设氕核从P点射出时的速度大小为v0、动能为Ek0，在电场中运动的时间为t，则：2Lv0t，Lat2，qEmaEk0mv02解得：Ek0qEL。(2)设氕核进入磁场时速度的大小为v、方向与x轴夹角为，沿y轴负方向分速度大小为vy，则：vyat，tan ，解得：氕核进入磁场后做匀速圆周运动，设磁感应强度的大小为B，轨迹半径为r，则有：qvBm射入点O、磁场圆心O1、射出点C、轨迹圆心O2构成菱形，由几何关系有：r2L解得：。(3)设氚核射出时速度为v0，到y轴时间为t，该过程沿y轴
4、负方向位移大小为y，到达y轴时速度的大小为v、方向与x轴正方向夹角为，则：mv02(3m)v02，即氚核也从坐标原点O进入磁场，设氚核在磁场中做圆周运动的半径为r，则有：解得：r2L由几何关系可知，射入点O、射出点D、轨迹圆心O3构成等边三角形，且O3D垂直x轴，所以氚核离开磁场时速度方向与x轴正方向平行。1如图所示为平面直角坐标系xOy平面的俯视图，在第一象限存在方向沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E1；在第二、第三象限存在方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B；在第四象限存在由特殊静电装置产生的匀强电场，电场方向平行坐标平面且与y轴正方向的夹角为45，电场强度大小为E2
5、。一个带负电的粒子，从y轴上的P点（0，d）沿x轴负方向射出，速度大小为v0，粒子的比荷，粒子运动依次经过y轴上的A点（图中未画出）、x轴上的C点、过C点且平行于y轴的直线上的D点（图中未画出）。已知粒子经过C点时的动能是经过A点时动能的2倍，粒子从C运动到D所用时间t2与从A运动到C所用时间t1的关系为t2t1，不计粒子重力。求：(1)A点的坐标；(2)电场强度E1、E2的大小；(3)从A点到D点电场力对粒子做的功W。2如图所示，在平面直角坐标系xOy的1、2象限内有等腰三角形AOB，AOB120，C点为AB边中点，OC1 m，OCAB，在三角形范围内有垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度B
6、T。在1、2象限其他区域有与x轴正方向成60角斜向上的匀强电场，电场强度E102 V/m，取y轴负半轴上一点D，沿OD建立电场使得UODU0，把一群比荷3102 C/kg的负电荷在OD间静止释放，所有的负电荷都没有从AB边射出磁场，不计电荷的重力，不考虑电荷间的相互作用，求：(1)U0的最大值；(2)负电荷离开x轴的可能范围。3在如图所示的xOy平面内，边长为2R的正方形区域中存在方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，沿x轴放置一长为2R的探测板，与磁场下边界的间距为R，质量为m、电荷量为q的正离子源从正方形一边（位于y轴上）的中点P向垂直于磁场方向持续发射离子，发射速度方向与
7、水平方向夹角范围为060且均匀分布，单位时间发射N个离子，其发射离子速度大小随发射角变化的关系为，为发射速度方向与水平方向夹角，其中当0的离子恰好从磁场下边界的中点沿y轴负方向射出。不计离子间的相互作用和离子的重力，离子打在探测板即被吸收并中和，已知R0.05 m，B1 T，v05105 m/s，sin 370.6，cos 370.8。(1)求离子的比荷；(2)求单位时间内能打在探测板上的离子数n；(3)要使从磁场下边界射出的所有离子都打不到探测板上，需要在磁场与探测板间加上沿y轴正方向的匀强电场，求所加匀强电场的电场强度最小值E。（结果保留两位有效数字）4如图甲所示，在水平地面上有一个口径为
8、d，深为h的漏斗形旱井。井的左边侧壁竖直，距其水平距离s处有一个高为H的水平平台，平台上装有绝缘弹射器，可以将质量为m、电荷量为+q可看作质点的小球以速度v0弹射出去，v0的方向跟井口直径在同一竖直平面M内。当小球水平向右弹出后，小球从井口上方掠过。忽略空气阻力，重力加速度为g。(1)为了使小球能打进井中，可在地面上方平行于平面M加水平方向的匀强电场，求此电场的电场强度E0的取值范围和方向；(2)若在地面上方加一平行于平面M的匀强电场，小球可以无碰撞地落到井底，求小球从开始运动至落到井底的过程中机械能的变化量；(3)若在地面上方加竖直向上的匀强电场，电场强度大小E，同时加一个匀强磁场，改变弹射
9、器的弹射方向为斜向右上方，也恰能让小球无碰撞地落到井底，求匀强磁场的磁感应强度的大小以及v0与水平方向的夹角的正切值；(4)若在地面上方加竖直向上的匀强电场，电场强度大小E，再加上磁感应强度大小相等的有理想边界的两个并列匀强磁场，如图乙所示，以同(3)一样的方向将小球弹射出去，也能让小球无碰撞地落到井底，求所加磁场的磁感应强度大小。5如图所示，xOy平面上以坐标原点O为圆心的四分之一圆形区域MON内，分布着磁感应强度B2.0103 T的匀强磁场，其中M、N点距坐标原点O为 m，磁场方向垂直纸面向里，坐标原点O处有一个粒子源，不断地向xOy平面发射比荷5107 C/kg的带正电粒子，它们的速度大
10、小都是v1105 m/s，与x轴正方向的夹角分布在090范围内，不计粒子重力。(1)求平行于x轴射入的粒子，射出磁场的位置及在磁场中的运动时间；(2)求恰好从M点射出磁场的粒子，从粒子源O发射时的速度与x轴正向的夹角；(3)若粒子进入磁场前经加速使其动能增加为原来的2倍，仍从O点垂直磁场方向射入第一象限，求粒子在磁场中运动的时间t与射入时与x轴正向的夹角的关系。6如图甲所示的空间直角坐标系Oxyz中，分界面P、荧光屏Q均与平面Oxy平行，分界面P把空间分为区域和区域两部分，分界面P与平面Oxy间的距离为L，z轴与分界面P相交于O。区域空间中分布着沿y轴正方向的匀强电场，区域空间中分布若沿x轴正
11、方向和z轴正方向的交替出现的磁场，磁感应强度大小均为B0，变化规律如图乙所示。电荷量为q、质量为m的带正电粒子在y轴负半轴上的某点沿z轴正方向出射，经过区域，到达O点时速度大小为v0，方向与z轴正方向成60角；以带电粒子在O点的时刻为t0时刻，再经过区域打在荧光屏Q上，其速度方向恰好与经过O点时速度的方向相同。粒子所受重力忽略不计，不考虑场的边缘效应及相对论效应，求：(1)区域内电场强度E的大小；(2)时刻粒子的速度v1大小与方向；(3)分界面P与荧光屏Q之间的距离d；(4)粒子打在荧光屏上的x坐标。答 案1【解析】分析粒子运动。作出粒子的运动轨速如图所示。(1)粒子在P点沿x轴负方向进入匀强
12、磁场，做匀速圆周运动，设半轻为r，根据牛顿第二定律有：代入数据解得rd可见粒子做圆周运动的圆心在O点，A点在圆周的最高点，坐标yArd所以A点的坐标为（0，d）。(2)由题可知粒子在C点的动能为在A点动能的2倍，有：解得粒子在C点的速度大小可知vC与x轴正方向的夹角45，粒子沿y轴负方向的分速度vCyv0在第一象限，粒子做类平抛运动，加速度在y轴负方向根据运动学公式有联立解得vC与x轴的夹角45，根据运动特点可知OC2d运动时间由题意有根据题意和以上分析知，粒子在第四象限受的电场力方向和vC的方向垂直，加速度C、D在同一条平行于y轴的直线上，在x轴方向位移为0，有联立解得。(3)粒子在D点的速
13、度大小从A点到D根据动能定理可得电场力做的功联立解得。2【解析】(1)所有的负电荷都没有从AB边射出磁场的临界如图所示，根据几何知识可得，此时的半径为带电粒子在磁场中偏转，由洛伦兹力提供向心力，则带电粒子在电场中加速，根据代入数据解得。(2)带电粒子离开磁场时，速度方向与电场方向垂直，粒子做类平抛运动，其中加速度为粒子做类平抛运动在垂直电场方向的位移为 在沿电场方向的位移为根据几何关系可得又因为，联立各式，代入数据解得则所以负电荷离开x轴的可能范围为。3【解析】(1)0的离子恰好从磁场下边界的中点沿y轴负方向射出，做出离子的轨迹如图所示，根据几何关系可得离子运动轨迹半径rR根据洛伦兹力提供向心
14、力得：qv0Bm解得离子的比荷107 C/kg。(2)发射角为的离子运动轨迹半径为如果第一、四象限都有磁场，根据几何关系可得离子在磁场中运动时在y轴上的弦长L2Rcos2R即所有粒子都打到O点；实际只有边长为2R的正方形区域存在磁场根据对称性可得从P向磁场发射的离子均垂直磁场下边界射出，根据几何关系可得离子出磁场下边界的位置横坐标为xaR+Rsin离子要打在探测板最右边时，需满足xaR+Rsin2R将运动轨迹半径R代入上式得1+sin2cos解得37因为离子速度所以当37时离子轨迹半径变大，粒子从磁场右边界射出磁场不能打到探测板上，并沿060范围均匀分布，单位时间发射N个离子，则单位时间内能打在探测板上的离子数。(3)只要从磁场下边界射出的速度最大的粒子打不到探测板上，则所有离子都打不到探测板上，离子最大的速度为当最大的速度vm的离子恰好达不到探测器时，此时电场强度为最小值E，根据动能定理有解得E3.9105V/m。4【解析】(1)在竖直方向小球做自由落体运动，有 解得在水平方向上小球做匀减速运动，加速度大小为，设小球从井口左侧进入井中，有解得同理可得，当小球从井口右侧进入井中，所加电场的电场强度大小为电场强度方向水平向左，的取值范围为(2)由题意可知，若小球可以无碰撞地到达井底，
