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1、数形结合思想【考情分析解读】1数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数空间与形空间的同构建立一一对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。2实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几
2、何意义。3数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。【考点题型探究】考点一 直观的几何意义 【典例1】直线与曲线有两个交点,求b的取值范围。COby(1,0)分析:本题的常规思路是：联立直线和曲线方程,在内,方程 思路是十分清晰的,但由于解题过程比较复杂,一般不宜采用。解析: 根据题意作出图形：(注意：同时，可以看作平移而来。)
3、 由图形可以比较直观的得到b的两种临界情况：直线过点(1,0)时,：直线和曲线(半圆)相切于 c点,利用点到直线的距离公式得：P(2,3)BAOxy答案： 【误点警示】临界点不能取到。【典例 2】求函数的值域解析：联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得：最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而得解：【误点警示】如果存在分母为零的情况在解题时应加以注意。临界点可以取到。答案：【技巧点拔】本题从函数本身的形式入手,引入直线的斜率,结合图形,从而使问题得到巧解
4、。【变式训练】1分析：构造直线的截距的方法来求之。 截距。 2. 求函数 的最小值考点二 考查不等式有关问题【典例3】（2006江西卷）若不等式x2ax10对于一切x（0，）成立，则a的取值范围是（ ）A0 B. 2 C.- D.-3解析：左边是一个二次函数，通过控制函数图象在（0，）上的最低点来解题：选C答案：C【技巧点拔】函数在区间上的最值问题，是此类题的背景【变式训练】3当0p4，不等式x2px4xp3恒成立，试求x的取值范围4已知关于x的方程2kx22x3k2=0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围。考点三 利用函数与方程的图象【典例4】若曲线|1与直线没有公共点，则、
5、分别应满足的条件是 解析：作出函数的图象， 如右图所示： 所以，；答案：【变式训练】11xyO5 A4个 B. 3个 C.2个 D.1个解析：作由图可知，两个函数的图象有两个交点，所以，原方程有两个实数解【技巧点拔】 ，作出函数图象是关键。考点四 关于函数的单调性【典例5】 ，答案：【技巧点拔】【变式训练】7设函数f(x)=x22|x|1 (3x3).指出函数f(x)的单调区间并说明在各个区间上f(x)是增函数还是减函数。解析：根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图当x0时，f(x)=x22x1=(x1)22当x0时，f(x)=x2+2x1=(x+1)22即 函数f(x)单调区间为3，1，
6、1，0，0，1， 1，3。由图形可看出函数在区间3，1，0，1上为减函数，在区间 1，0，1，3上为增函数。8（2004全国）若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）上为增函数，试求实数a的取值范围.【考题创新借鉴】【典例6】 解析：以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截 【命题探究】【考试技巧点拔】1方法与技巧: 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助代数式的几何特征以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.2解题注意点：应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算
7、及韦恩图（2）方程与函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及图象【考场冲刺演练】1. 方程的实根的个数为（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若不等式的解集为则a的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知复数的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 定义在R上的函数上为增函数，且函数的图象的对称轴为，则（ ） A. B. C. D. 6. 若对任意实数t，都有，则、由小到大依次为_。7. 若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为_。8. （2005上海）
8、函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_。9求函数的最大值。【参考解答】【变式训练】1.解：函数 y= 可视为：点A(2，0）与点P(sinx,cosx)的连线的斜率则y的最值即为kAP的最值。而点P为单位圆上的一个动点，则当直线Ap与单位圆相切时kAP取得最值。设直线AP的方程为：y=k(x+2)，由圆心到直线的距离为1， 则有： 解之得：k=, 故y的最大值为： 最小值为：2. 解：y表示x轴上点P(x,0)到A(1,1),B(3,2)两点的距离之和，求出A关于X轴的对称点A（1，-1）。|AP|=|AP|又两点之间直线段最短|AP|+|PB|=|AP|+|PB| y的最小
9、值为|AB|= 3. 分析: 把x当作自变量，构造函数yx2(p4)x3p,于是问题转化为：当p0,4时，y0恒成立，求x的取值范围解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，比较复杂但如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y(x1)p(x24x3)，则y是p的一次函数，就非常简单解析：令 f(p)(x1)p(x24x3)函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)0恒成立，当且仅当f(0)0，且f(4)0，解这个不等式组即可求得x的取值范围是(,1)(3,)4. 分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组。如果从函数观点出发，令f(x)=2kx22x3k2则由
10、根的分布，函数f(x)的图象只能如图所示。 解：由以上分析可知，令f(x)=2kx22x3k2,为使方程 f(x)=0的两个根一个小于1，另一个大于1，只需使 或 解得k0或k4小结：本题是一个利用函数图象解决方程根的分布问题的的典型例题，一般地，关于根的分布问题，均可引入函数，由函数图象的特征构造解法，使问题得以巧妙解决。5. C利用数形结合的思想作出图形。6. 解析：先求出函数的导数 因在区间（1，4）内的图像是抛物线的一段，在区间（1，4）内为减函数，故该段图像上没有点在x轴的上方，即；因在区间（6，+）上的图像是抛物线上升的一部分或先下降后上升的一部分，又因在区间（6，+）上为增函数，
11、故图像上没有点在x轴的下方，即，所以a的取值范围是5，7.【冲刺演练】1- 81. C 提示：画出在同一坐标系中的图象，即可。 2. D 提示：画出的图象3. B 提示：画出的图象，依题意，从而。 4. C 提示：由可知，z2对应的点在以（0，0）为圆心，以2为半径的圆上， 而 表示复数对应的点的距离， 结合图形，易知，此距离的最大值为： 5. A 提示：f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的，又知f(x+2)的图象关于直线x=0（即y轴）对称，故可推知，f(x)的图象关于直线x=2对称，由f(x)在（）上为增函数，可知，f(x)在上为减函数，依此易比较函数值的大小。6
12、提示：由知，f(x)的图象关于直线x=2对称，又为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知的大小。7. 提示：设，画出两函数图象示意图，要使方程有四个不相等实根，只需使 89解：由定义知1-x20且2+x0 -1x1，故可设x=cos，0，则有可看作是动点M（cos，sin）(0，)与定点A（-2，0）连线的斜率，而动点M的轨迹方程，0，即x2+y2=1（y0，1是半圆。设切线为AT，T为切点，|OT|=1，|OA|=2 ，0kAM即函数的值域为0，故最大值为。点评：1、有些代数式经变形后具备特定的几何意义，此时可考虑运用数形结合求解，如：比值可考虑与斜率联系；根式可考虑与距离联系；二元一次式可考虑与直线的截距相联系。2、本题也可如下转化：令Y=，X=2+x，则(X+2)2+Y2=1（Y0），求的最大值，即求半圆(X-1)2+Y2=1（Y0）上的点与原点连线斜率的最大值，易知。
