2014年度义乌市规划课题数学史在教育教学中的实践与应用的研究 任意角的三角函数的课例研究义乌三中刘石洋义乌中学王芳二0一五年十月课题摘要HPM在20世纪70年代成为一个独立的学术研究领域，到如今成 为国际数学教育的新思潮之一•但基于HPM的教学设计与实践探索还 很少•数学史融入到数学教学仍是件不容易的事,它没有现成的模板, 需要老师在实践中不断总结探索.人教版教材中“任意角的三角函数”的编写，忽略了从锐角到 任意角、从平面几何到解析几何及从单位圆到终边的口然过渡和比 较借鉴三角函数概念的发展从弦长到比值、从锐角到任意角以及 从平面几何到解析几何的历史过程，对“任意角的三角函数”的教 学，重构了 “从特殊角到单位圆”，“从单位圆到坐标系”、“从 单位圆定义法至山终边定义法三个关键环节；并重点借助 托勒密求弦长的数学思想和生活中常见的曲柄连杆模型，引出了单 位圆和坐标系课后学生反馈表明，这样的教学取得了良好的效 果关键词：HPM 任意角的三角函数 教学设计 单位圆1课题背景1.1课改重起源 1.2国际上HPM新潮流 1.3国内HPM悄悄兴起 2三角学的历程2.1三角学的发展历程 2.2三角学的教学历程 3课题研究3.1研究目的 3.2研究形式 3.3研究方法3.3.1课题研究方法 3.3.2课例研究方法 3.4研究内容3.4.1任意角的三角函数教学设计 3.4.2课堂实录3.421从“特殊角”到“单位圆” 3.4.2.2从“单位|员I”到"坐标系” 3.4.2.3从“单位圆定义法”到“终边定义法” 3.5课题研究成效3. 5. 1引入比较 3. 5. 2托勒密思想的运用 3. 5. 3曲柄连杆的应用 3.6课例反思与总结 4课题结论 5参考文献 6附件 6」任意角的函数的课件 6.2任意角的函数微课 6.3发表的课例论文 数学史在教育教学中的实践与应用的研究 任意角的三角函数课例研究1. 课题背景1.1课改重起源新课改的普通高中数学课程标准指出数学课程应帮助学生了解数学在人类 文明发展中的作用，逐步形成止确的数学观。
数学课程应适当反映数学的历 史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发 展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的 创新精神⑸现在的根，深扎在过去，而对于寻求理解“现在之所以成为现在 这样子”的人们来说，过去的每一事件都不是无关的数学是一个有机体，它 的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分离在M.克莱因眼里数学史 的重要程度可谓无以复加•他坚信历史上数学曾经遇到过的困难,在课堂上学生 同样会遇到，因而历史对于课堂教学具右重要的借鉴作用•他指岀数学绝对不是 课程或教科巧里所指的那样肤浅观察和寻常诠释，它常常需要儿十年，甚至儿百 年的努力才能迈岀有意义的儿步⑷1・2国际上HPM新潮流20世纪70年代,HPM成为一个独立的学术研究领域，当今已成为国际数学教 育的新思潮之一・1995年在美国国家数学协会就发起历史模块项目的的研究 但基丁 HPM的教学设计与实践探索还很少，数学史融入到数学教学中仍然是件不 容易的事，冇启发的思想与数学教学冇机的结合,一直是HPM学者们的研究目 标1・3国内HPM悄悄兴起国内学术界直到木世纪初才开始普遍关注HPM领域.尤其是在教材方面历史 知识增加了不少，给学生很多的启发。
实际上，教学是一个系统工程，要想实 现数学史发挥其效力，需要从HPM的角度综合恰当好处地融入人教版普通高中数学课程标准实验教科书《必修④》第一章“三角函数” 第121节“任意角的三角函数”是全章承前启后的关键所在通过本课的正 弦、余弦、正切函数定义，为此后同角三角函数基本关系、诱导公式、三角函 数的图象和性质等奠定了必要基础，从而构建出一个系统的“三角函数”知识 体系在本节，教材直接把“锐角”置于直角处标系的背景之中，先用“终边定义 法”得出“锐角三角函数”的定义，再利用相似三角形优化至“单位圆定义 法” o通过类比，最终引出“任意角的三角函数”的定义就本节内容而言， 这种编排方式逻辑清晰、逐层递进，冇助于学生顺利理解教材的编写意图从教学实施來看，这里仍然存在着两个问题一是“直角处标系”的出现比较突儿在本章开始的第1. 1. 1节“任意角” 中已经引入了直角处标系，并指出“今后我们常在直角处标系内讨论角” [1], 但在第1. 1.2节“弧度制”中却并未提及坐标系曲于“角”与“坐标”之间 的联系尚未稳固，导致学生学习本课内容时较难自觉地运用直角处标系二是“单位圆定义法”与“终边定义法”的选择。
相对而言，“终边定义 法”更贴近学生初中已有的知识储备，容易理解用比值2、艺、上分别表示角r r xQ的正弦函数、余弦函数和正切函数单位圆定义法”充分表现了当时 用坐标（3）直接表示三角函数值sin — 八 cosa = x的优势，以此为依托得到的 三角函数线，是研究三角函数的图象不可或缺的重要工具无论直角坐标系的 引入，抑或上述两种定义法，都体现了古人的数学智慧要发挥其间蕴含的教 育价值，需要我们从数学史中寻找解决方案2. 三角学的历程2・1三角学的发展历程从最初的天文学到球面三角学，然后到平面三角学托勒密的弦长表可谓是 三角函数的雏形，即半弦函数，托勒密将弦长表示成所对应的圆心角的函数 实际上，就是把角a放在单位圆中（如图1所示），吨斗然后用倍角公 式计算出sin g随后其他几个三角函数才慢慢地在单位圆中呈现直到1595年皮蒂斯克斯的《三角学及三角形性质》才开始有了三角函数性质的分析到了19世纪傅里叶才把三角函数的周期性应用到极致d02・2三角学的教学历程图1从图书馆里了解到我国解放初期北京市《初等数学》编写组的《三角函数》里的三角函数定义是在偏心驱动机构里分析活塞偏离中心线的距离变化（如图2）,为了统一表示而定义任意角的正弦函数。
再类比得到任意角的三角函数新课改前及现行江苏版都是采用终 边定义法，而现行人教版是采用了单位 圆定义法纵观历史三角函数与圆冇着密切的 联系，项武义说，正弦、余弦函数是一 对起源于圆周运动，密切配合的周期函 数它们的基本性质乃是圆的几何性质 的直接反映⑶3. 课题研究3・1研究目的依据数学史的发生发展，结合教学实际,在数学的教育教学中渗透其思想方法，帮助学生理解数学概念产生的背景及需要激发学生对数学概念的合理 性的批判与理解，培养学生积极探索勇于创新的科研精神3・2研究形式以王芳工作室为单位进行HPM教学案例研究工作室在王芳老师的带领 下，曲义乌市高中青年教师11人组成工作室在业余时间探讨数学HPM教 学，展开系列教学活动活动还得到华师大汪晓勤教授的HPM研究团队（有 博士，硕士，访问学者近30人左右）的人力指导和支持.课例先由工作室成员 申报，经过人家的讨论，在条件成熟的时候由王芳老师决定开展课堂实践教学 实验•每一个课例要经历三次课堂实践教学，每次都有工作室成员和华师大的 HPM研究团队一起参与，先听课，再评课，整个过程还有录像，为了便于反复 研究细节每次王芳老师都会给我们总结性的指导•这样，每一个课例经过三次 打磨到基本成型•然后，对最后一次课堂教学进行研究写成课例并发表。
3・3研究方法3.3.1课题研究方法1） 文献法通过对文献的查找、分析、比较、帅选获得调查资料的一种研究方法本研 究通过对相关文献的收集与整理，分析获得三角函数定义发展历程及它们的教 学历程2） 比较法比较研究法是指对象与对象之间的相似性或相异程度分析与判断的方法任 意角的三角函数主要有两种定义方式：一是单位圆定义法；二是终边定义法 实际上，这两种定义方法本质是一样的，一个是有形的圆，一个无形的圆•一个 是圆半径为1,一个是圆半径为匚通过比较，获得优化任意角的函数概念教学设 计基础3） 经验总结法经验总结法是指三次实践教学中不断总结得失，采纳工作室成员的合理意 见，获得改进任意角的函数概念教学设计的方案3. 3. 2课例研究方法（汪晓勤教授的数学教学运用数学史的四种方法）1）复制式：是指直接采用历史上的数学问题、解法等.具冇直接运用的特点，无 需加工，只求合适•如正弦、余弦、正切函数的名称的來历的介绍2） 附加式:是指展示冇关的数学家图片，讲述逸闻趣事等，去掉后对教学内容没冇 影响•也具有直接运用的特点，但可以加工，主要是为了激发学生学习的兴趣为目 的•如课例中的托勒密的弦表的讲述3） 顺应式:根据历史材料,编制数学问题•比如利用曲柄连杆运动的分析，迫切需要 定义角的余弦函数（详见课堂实录）。
4） 重构式:借鉴或重构知识的发生、发展历史•具冇间接运用历史的特点.如根据 初中三角知识，在直角三角形中，锐角的正弦值等于对边比斜边•当斜边长为1时， 锐角的正弦值就等于对边长•如果把多个这样的三角形平移到一•块，角的顶点、及 一边重合•就构造出单位圆的形象（详见课堂实录）3.4课题研究内容根据数学教学运用数学史的方法，恰当地把三角函数的发展史融入到任意角的 三角函数课堂教学•帮助学生理解三角函数的概念，同时也给学生一个信号，数学 中的概念的发牛发展有它的过程，也需要创新，更需要不断完善.3.4.1任意角的三角函数教学设计一. 教学目标1） 知识与能力目标：掌握任意角的三角函数的定义，能够求特殊角的三角函数 值2） 过程与方法目标:利用数学史引入，激发学生的学习兴趣通过曲柄连杆运动 规律问题的研究引岀任意角的三角函数定义必要性以及定义的可行性，再由的单 位圆到一般圆的三角函数的定义3） 情感态度与价值观:通过对实际问题的研究,进一步体会数学来源于生活，同时 乂作用于生活实际二. 教学重点:任意角的三角函数的定义的发生发展三. 教学难点:任意角的三角函数的定义必要性与可行性四. 教学方法:探究讨论，讲授法五. 教学准备:课件六. 教学设想三角学一开始并不是一门独立的学科，它只是作为天文学研究的工具而存 在。
公元2世纪，古希腊天文学家托勒密(C. Ptolemy)将圆周分成360度，将 圆的直径分成120等分，用几何方法来计算一个锐角所对■应的弦长(用半径的 1/60作为度量单位)，编制出一张弦表，为天文计算服务16世纪以前，并没 冇“三角比”的概念，所有六种三角函数都只不过是线段而已，德国数学家雷 提库斯(G. Rheticus, 1514-1574)首先使用了三角比[1],因此,三角函数概念 从“线段”演进为“比值”，经历了漫长的过程18世纪以前，三角函数仅仅 局限于锐角，欧拉(L. Euler, 1707-1783)在《无穷分析引论》中定义了任意角 的三角函数，三角函数概念从锐角演进为任意角，同样经历了漫长的过程17 世纪，费马和笛卡儿通过建立坐标系，用代数方法來研究曲线，从而发析几 何但直到18世纪，解析几何的思想才被运用于三角学以史为鉴，我们重构“从特殊角到单位圆”、“从单位圆到坐标系”、“从单位圆定义法到终边定 义法”三个关键环节來设让教学其中，前两个环节借助生活中常见的“曲柄 连杆”模型(如图3)來完成A 2 一 、昇 /图3A环节一：借鉴托•勒密求弦长的数学思想，引出“单位圆”。
在不预先给出坐标系的情形下，从学生熟悉的“特殊角”的三角函数值出发，考察若干具体的“非特殊角”的三角函数值，逐步推广至“一般角”，在不断改良过程中体现“单位圆”的独特优势（如。