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1、精选学习资料 - - - 欢迎下载数学方法与精神复习题1.表达皮亚诺的自然数公理系统；皮亚诺公理, 为数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统；依据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统；皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法表达如下：三个基本概念：0,数,后继 五条公理：1. 0 为一个数；2. 任何数的后继为一个数；3. 如两个数不同,就它们的后继也不同；4. 0 不为任何数的后继；5. 数学归纳法原理；皮亚诺所谓的“数”为指全部自然数所构成的类,即指包括0 在内的自然数全体；他没有假定我们知道这类中的全部分子,仅假定当我们说这个或那个为一个数时,我们知道我们所指的为什么；皮亚
2、诺以“后继”来代表从数到数的一种对应,这种对应为一对一的,为一部以数造数的机器给一个合适的起始数,潜在地,就足以造出数的全体；这个合适的起始数只有一个,那就为“ 0”；“0” .“数”.“后继”为不加以定义的原始概念,它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描述；从皮亚诺的公理系统动身,可以建立起完整的算术理论可以定义数的加法.乘法和大小关系,可以证明已有的全部算术结果；2. 你认为数学可以完全规约为规律吗？论述你的观点；我认为数学并不能完全规约为规律；规律主义学派认为,数学可以完全由规律得到；罗素和怀特相当胜利的把古典数学纳入了一个统一的公理系统,使之能从几个规律概念和公理 动身, 再加上集合
3、论的无穷公理就能推出康托集合论.一般算术和大部分数学来；这把规律推理进展到前所未有的高度,使人们看到, 在数理规律演算的基础上能够推演出很多数学内容来,形成了集合论公理系统的规律体系；但后来数理规律中的一些深刻结果（如Godel不完备性定理）就否定了这种观点；事实上,数学不能完全由规律得到,即,假如要求数学为无冲突的,那么,它就不行能为完备的；数学的确有规律以外的题材,那就为表达式,而且她的最重要的简洁真理为直观的而非规律的 产物；ZFC 系统中存在的非规律公理即能说明这一点；3. 试述 ZF 系统的 MP 规章和 GEN 规章；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ZF的规律演绎规章
4、有两条；这些规章使我们可以把一个公精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载式A作为某有限个公式A1 、 A2 、 Am的直接后承而演绎出来；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这两条规章为：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 分别规章（MP规章）：从A和AB可推演出 B,其中精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载A和B为任意两个公式 .modus ponens精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 2概括规章（GEN规章）：从A可以推演出xA,其中精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载A为任一公式,而x为任一变元 .generalisa
5、tion精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注释 ：1分别规章对应于日常语言中进行论证的标准方式之一：从命题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载“甲包蕴乙”和“甲” “甲包蕴乙”为大前提因此,分别规章反映的分别（即推演）出命题,“甲”为小前提,而正为三段论式推理的形“乙”；通常称 “乙”为结论；式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2概括规章对于涉及量词性质的推理为必要的；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一个公式 A总为或者含有自由变元,或者不含自由变元；前种情精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎
6、下载形显现时,称A为开命题,而后种情形显现时,称A为一个闭命题；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对一个开命题变元,那么A,记作 A x 、 y 、 z ,其中 x 、 y 、 z表示A的全部自由精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载zyxA x 、 y、 z精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变成了一个闭命题；我受到量化的变元就失去们看到,量词的作用为了变元的作用；对变元加以约束和限制 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对于谓词公式,当它为闭命题时,在论域确定的情形下,该命题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -
7、 - - 欢迎下载的真假值依靠于谓词的含义而定；当它为开命题时,它的真假值一般精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载说来不能谈论,由于它成可以判定真假的陈述含有的自由变元没有确；定赋值 它不能构精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. ZFC 系统的非规律公理有哪些条款？其中哪几条最能表达数学价值而又不能归约为规律？（ZF1）两个集合相等,当且仅当它们有相同的元素；（外延公理）（ZF2）没有元素的集合存在；（空集公理）（ZF3）给出任何集合x 和 y,总存在着集合z,它的元素为x 和 y；（配对公理）（ZF4）给出任何集合x,总存
8、在着集合y,它以 x 的元素的元素为元素； （并集公理）（ZF5）给出任何集合x,总存在着集合y,它以 x 的一切子集为元素； （幂集公理）（ZF6）如对于任意的x,恰好存在唯独的y,使得公式Ax、y成立,那么对于任意的集合z,存在集合u,使得u = v |存在 w z ,使得 Aw、v成立；（替换公理模式）（ZF7）存在一个集合x,它含有无穷多个元素；（无穷公理）（ZF8）每个非空集合x 含有一个元素y, y 作为集合与x 无公共元素；（基础公理）（AC） 对任何由两两不交的非空集合组成的集合x,总存在一个集合y,它与 x 的每个成员恰有一个公共元素；（挑选公理）精品学习资料精选学习资料 -
9、 - - 欢迎下载（ZF2）空集公理和（ZF7）无穷公理（AC）挑选公理（ZF2）和（ ZF7）为分别断言集合存在和无限集合存在的公理；实质上,它们断言的正为空集 . 和自然数集N 存在 ；这两条公理实难作为规律公理看待,它们为干脆的数学公理；因此,将集合论完全划归规律范畴不行能得到数学界的认可；一般认为： 规律主义自定的目标数学化为规律,成为规律的一部分不行能实现；除此之外,挑选公理也被证明为一条数学原理,不能归约为规律；5. 自然数系有哪些基本原理？具体表达之；定 理 2（ 递 归原 理 ） 设S为 一个 集合 , :SS为一 个映 射,a 为 S 的任 一个 事先 给 定 的素元； 那
10、么 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载存 在 到S的 唯独 的 映 射f: S, 满 足精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f0a 、且fnfnn .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上述定理为我们可以做 出递归定义的理论依据 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例如,自然数系中的加归方式定义的；这两种基于上面的递归定理；法和乘法两种运算,都运算的定义的合理性在这点我们将在下一讲中为用递本质上看清；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定 理 3（ 数 学 归纳 原）理谓词公式,那么设P x为
11、一个含有自由变元 x的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载P 0n P nP nnP n.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：在使用数学归纳原意有两个步骤缺一不行理去证明数学命题时,：必需注精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 证明：命题 P 0 真；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 证明：命题“如P n 真,就P n真；”也真；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数学归纳原理为最重要 而基本的数学原理；它 的理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载论意义在于帮我们超越法上,它教
12、会我们把问然后再用归纳法飞跃地了有限,达到了无限；题“退”到最简洁易解 “进”；而 在 方 的情形,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定 理（4 与的 统 一 性）对 于 N 与, 存 在唯 一 的 双 射h :, 适 合精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载h 0,且h nh n.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载基于上述定理,数学上与常不予区分；敬重数学家们的习惯,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载我们就将定义3 作为自然数系的标准定义；在此我们强调一点：自然数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢
13、迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载系为存在的集合,无限法存在性；公理的引入无非就为为了确定它在集宇宙中的合精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载既然自然数系具有上述的统一性,那么对于自然数系N,引入其元精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载素的抽象记号就为自然拉伯数字表示系统：的；自然数最常用的抽象记号系统就为它们的阿10 、这一表示法的合理性由21 、32 、递归原理所保证；、98 、109 、6. 什么为有限集.无限集和可数集？设 S 为一个集合,我们规定（1）假如存在n N 使得 S 与 0, 1, n相像,或S 与 . 相像,就称S 为有限集；否就,称 S 为无限集；（2）假如 S 与 N 相像,就称它为可列集；（3）假如 S 为有限集或可列集,就称S 为可数集或至多可列集；7. 谈谈你对零的看法；数学表述着事物复杂的本质,而把巨大的数学体系连成了一个整体的为零；从简洁的计数到复杂的运算, 从估量事物发生的几率到精确知道与我们相关的大事何时达到最大值,这些有力的数学工具都让我们使用这样的摸索方法：一个大事的发生与其他的大事相关,并且全部这些都离不开零这个中心；如：ei +1=0（数学中最
