初三数学二次函数和圆的学问点总结1. 定义：一般地，假如 y = ax 2+ bx + c(a, b, c 是常数， a 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数.2. 二次函数 y = ax 2 的性质（1） 抛物线 y = ax 2 的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴.（2） 函数 y = ax 2 的图像与a 的符号关系.①当a > 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；②当a < 0时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.（3） 顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y = ax 2（a 0）.3. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线.( )2 b 4ac - b 24. 二次函数 y = ax 2+ bx + c 用配方法可化成：y = ax - h+ k 的形式，其中h = -，k = .2a 4a5. 二次函数由特别到一般，可分为以下几种形式：① y = ax 2 ；② y = ax 2+ k ；③ y = a(x - h)2 ；④y = a(x - h)2+ k ；⑤ y = ax 2 + bx + c .6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.① a 的符号打算抛物线的开口方向：当a > 0 时，开口向上；当a < 0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、外形相同.②平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x = h .特别地， y 轴记作直线 x = 0.7. 顶点打算抛物线的位置.几个不同的二次函数，假如二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法b 24ac - b2b 4ac - b 2（1） 公式法： y = ax 2线 x = - b .2a+ bx + c = a x + +2a 4a，∴顶点是（- ， ），对称轴是直2a 4a（2） 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y = a(x - h)2对称轴是直线 x = h .+ k 的形式，得到顶点为( h , k )，（3） 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9. 抛物线 y = ax 2+ bx + c 中， a, b, c 的作用（1） a 打算开口方向及开口大小，这与 y = ax 2 中的a 完全一样.（2） b 和a 共同打算抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的对称轴是直线x = - b，故：① b = 0 时，对称轴为 y 轴；② b> 0 （即a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧；2a a③ b < 0 （即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧.a（3） c 的大小打算抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交点的位置.当 x = 0时， y = c ，∴抛物线 y = ax 2+ bx + c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）：① c = 0 ，抛物线经过原点; ② c > 0 ,与 y 轴交于正半轴；③ c < 0 ,与 y 轴交于负半轴.函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y = ax 2x = 0（ y 轴）（0,0）y = ax 2 + kx = 0（ y 轴）(0,k )y = a(x - h)2y = a(x - h)2 + k当 a > 0 时x = h( h ,0)开口向上x = h( h , k )当 a < 0时y = ax 2 + bx + c开口向下x = -2ab(- b 4ac - b 22a，4a)以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则10.几种特别的二次函数的图像特征如下：b < 0 .a11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1） 一般式： y = ax 2 + bx + c .已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常选择一般式.（2） 顶点式： y = a(x - h)2+ k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3） 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标 x 、 x1 2，通常选用交点式： y = a(x - x1)(x - x ).212. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线 y = ax 2+ bx + c 得交点为(0, c ).（2） 与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax 2（3） 抛物线与 x 轴的交点+ bx + c 有且只有一个交点( h , ah 2+ bh + c ).二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 、 x ，是对应一元二次方程1 2ax 2 + bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点 D > 0 抛物线与 x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上） D = 0 抛物线与 x 轴相切；③没有交点 D < 0 抛物线与 x 轴相离.（4） 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2+ bx + c = k 的两个实数根.（5） 一次函数 y = kx + n(k 0)的图像l 与二次函数 y = ax 2y = kx + n+ bx + c(a 0)的图像G 的交点，由方程组 y = ax2 + bx + c的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 l 与G 只有一个交点；③方程组无解时 l 与G 没有交点.（6） 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y = ax 2+ bx + c 与 x 轴两交点为 A(x ，0)，B(x1，0)，2由于 x 、 x 是方程ax 21 2+ bx + c = 0 的两个根，故x + x = - b , x x = c(x - x )2 - 4x x1 2 1 2- -b 2a 4cab2 - 4acaDa1 2AB = x1a 1 2 a(x - x )21 2- x = =2= = =1.垂径定理及推论: 几何表达式举例：如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理， ∵ CD 过圆心即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. ∵CD⊥ABC平分优弧∴ AE=BEOEABD过圆心垂直于弦平分弦平分劣弧AC=BCAD=BD2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例：AB∵AB∥CDOCD∴AC = BD3. “角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”； “等弦对等角”；B“等角对等弧”； “等弧对等角”； E“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； AO“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.C F几何表达式举例：(1) ∵∠AOB=∠COD∴ AB = CD(2) ∵ AB = CD∴∠AOB=∠CODD4. 圆周角定理及推论:（1） 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2） 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)几何表达式举例：1（1） ∵∠ACB= 2 ∠AOB（3）“等弧对等角”“等角对等弧”； ∴ ……………（4） “直径对直角”“直角对直径”；(如图) （2） ∵ AB 是直径（5） 如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 ∴ ∠ACB=90 直角三角形.(如图) （3） ∵ ∠ACB=90CC A ∴ AB 是直径O A B DOBC BA（4） ∵ CD=AD=BD∴ ΔABC 是 RtΔ（1） （2）（3） （4）5. 圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外C 几何表达式举例：B∵ ABCD 是圆内接四边形角都等于它的内对角. A6. 切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理. O（1） 经过半径的外端并且垂直于这条C半径的直线是圆的切线；A（2） 圆的切线垂直于经过切点的半径；D E是半径B 垂直是切线∴ ∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180几何表达式举例：（1） ∵OC 是半径∵OC⊥AB∴AB 是切线（2） ∵OC 是半径∵AB 是切线※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.7. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等；圆心和这一P点的连线平分两条切线的夹角.8. 弦切角定理及其推论:（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；∴OC⊥AB（3） ……………几何表达式举例：A ∵ PA、PB 是切线∴ PA=PBO ∵PO 过圆心B ∴∠APO =∠BPO几何表达式举例：（1）∵BD 是切线，BC 是弦（2） 假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3） 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）DA∴∠CBD =∠CAB（2）∵ EF = ABFC E A∵ ED，BC 是切线B D B C∴ ∠CBA =∠DEF9. 相交弦定理及其推论: 几何表达式举例：（1） 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； （1） ∵PAPB=PCPD（2） 假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.∴………（2） ∵AB 是直径D CAP A O P。