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1、精选学习资料 - - - 欢迎下载北京中考数学重难点专题讲座第一讲线段,角的运算证明问题【前言】中考的解答题一般为分两到三部分的；第一部分基本上都为一些简洁题或者中档题,目的在于考察基础；其次部分往往就为开头拉分的中,难题了；大家讨论今年的北京一模就会发觉,其次部分,或者叫难度开头提上来的部分,基本上都为以线段,角的运算与证明开头的；城乡18个区县的一模题中,有 11 个区其次部分第一道题都为标准的梯形,四边形中线段角的运算证明题；剩下的 7 个区县题就将线段角问题与旋转,动态问题结合, 放在了更有难度的倒数其次道乃至压轴题当中；可以说,线段角问题就为中考数学有难度题的排头兵；对这些题轻松把握
2、的意义不仅仅在于获得分数,更重要的为对于整个做题过程中士气,军心的影响；在这个专题中,我们对各区县一模真题进行总结归纳、 分析讨论,来探究线段,角运算证明问题的解题思路；第一部分真题精讲精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 1】 （ 2021,崇文,一模） 如图,梯形ABCD 中, AD BC, BDCD,BDC90, AD3, BC8 求 AB 的长精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【思路分析】线段,角的运算证明基本都为放在梯形中,利用三角形全等相像、 直角三角形性质以及勾股定理等学问点进行考察的；所以这就要求我们对梯形的性质有很好的懂得,并且熟知梯形的帮助线做法；
3、 这道题中未知的为AB、已知的为AD、BC以及 BDC为等腰直角三角形、 所以要把未知的AB也放在已知条件当中去考察. 做 AE、DF 垂直于 BC、就很轻易发觉我们将AB带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中. 于为有解如下.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解析】作 AEBC 于 E, DFBC于 F精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载AE DF ,AD BC, 四边形 AEFD为矩形EFAD3, AEDF BDCD, DFBC, DF 为 BDC 的 BC 边上的中线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载BDC90, DF1 BCBF42精品学习资料精
4、选学习资料 - - - 欢迎下载AE4, BEBFEF431精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 Rt ABE 中,AB2AE 2BE2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载AB421217精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 2】（ 2021,海淀,一模）已知：如图,在直角梯形ABCD 中, AD BC ,求 AD 的长 .DCB90, ACBD 于点 O, DC2、 BC4 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ADOBC【思路分析 】 这道题给出了梯形两对角线的关系. 求梯形上底 . 对于这种对角线
5、之间或者和其他线 段角有特别关系 例如对角线平分某角 的题 、 一般思路为将对角线提出来构造一个三角形. 对于此题来说 、 直接将 AC向右平移 、 构造一个以D 为直角顶点的直角三角形. 这样就将AD转化成了直角三 角形中斜边被高分成的两条线段之一、 而另一条线段BC为已知的 . 于为问题迎刃而解.ADOBCE【解析】过点 D 作 DE / / AC 交 BC 的延长线于点E . BDEBOC . ACBD 于 点 O 、 BOC90. BDE90. AD / / BC , 四边形 ACED 为平行四边形. ADCE .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 BDE90 、DCB90
6、,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 DCBCCE . DC2、 BC4 , CE1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 AD1此题仍有很多别的解法,例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系,证明 ACD和 DBC相像,从而利用比例关系直接求出CD；有爱好的考生可以多发散思维去讨论；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 3】（ 2021,东城,一模） 如图,在梯形 ABCD 中, AD 的长度 BC ,B90 , AD=2 ,BC5 , E 为 DC 中点,tan C4求 AE3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载A DEB C【思路分析 】
7、 这道题为东城的解答题其次部分第一道,就为我们所谓提难度的门槛题；乍看之下好象直接过D 做垂线之类的方法不行. 那该怎样做帮助线呢.答案就隐匿在E 为中点这个条件中. 在梯形中 、 一腰中点为很特别的. 一方面中点本身为多对全等三角形的公共点、 另一方面中点和其他底、 腰的中点连线就为一些三角形的中线、 利用中点的比例关系就可以将已知条件代入. 比如这道题 、 过中点 E 做 BC的垂线 、 那么这条垂线与AD延长线 、BC 就构成了两个全等的直角三角形. 并且这两个直 角三角形的一个锐角的正切值为已经给出的. 于为得解 .A DMEB FC【解析】过点 E 作 BC 的垂线交于BC 点 F
8、,交 AD 的延长线于点M .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在梯形 ABCD 中, AD BC, E 为 DC 的中点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载MMFC ,DECE在MDE 和FCE 中,MMFC DEMCEFDECEMDE FCE.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 EFME ,DMCF精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 AD2,BC5 ,DMCF3 . 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 RtFCE 中,tan C4EF ,3CF精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 EFME2 .精品学习资料精选学习资
9、料 - - - 欢迎下载在 RtAME 中 , AE222236522精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【总结 】 以上三道真题、 都为在梯形中求线段长度的问题. 这些问题一般都为要靠做出精妙的帮助 线来解决 . 帮助线的总体思路就为将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合、 从而达到利用已知求未知的目的 . 一般来说 、 梯形的帮助线主要有以下5 类:1.过一底的两端做另一底的垂线,拆梯形为两直角三角形 + 一矩形2.平移一腰,分梯形为平行四边形 + 三角形3.延长梯形两腰交于一点构造三角形4.平移对角线,转化为平行四边形 +三角形5.连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全
10、等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形以上五种方法就为梯形内线段问题的一般帮助线做法； 对于角度问题,其实思路也为一样的；通过做帮助线使得已知角度通过平行, 全等方式转移到未知量邻近；之前三道例题主要为和线段有关的运算；我们接下来看看和角度有关的运算与证明问题；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【例 4】 （ 2021,延庆,一模）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图,在梯形ABCD中, AB DC, DB 平分ADC ,过精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 A 作 AE BD ,交 CD 的延
11、长线于点E ,且求 CD 的长ABC2E ,BDC30, AD3 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载EDC【思路分析】此题相对比较简洁,不需要做帮助线就可以得出结果；但为题目中给的条件都为此类角度问题的基本条件；例如对角线平分某角,然后有角度之间的关系；面对这种题目仍为需要将已知的角度关系理顺；第一依据题目中条件,特别为利用平行线这一条件,可以得出（见下图）角C 与角 1,2, 3 以及角 E 的关系；于为一系列转化过后,发觉角C=60 度,即三角形DBC为 RT三角形；于为得解；【解析】：AE BDAB13 ,2E1233E1CDADC3E2EE2C2EADCBCD60梯形 A
12、BCD 为等腰梯形 BCAD3230,BCD60DBC90在 Rt DBC 中,230, BC3 CD6【例 5】（ 2021,西城,一模）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已 知 ： PA2 , PB4 , 以AB 为 一 边 作 正 方 形ABCD, 使P. D 两 点 落 在 直 线AB精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的两侧 .如图,当 APB=45时,求AB及 PD的长；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【思路分析】 这为去年西城一模的压轴题的第一小问；假如线段角的运算显现在中间部分,往往意味着难度并不会太高；但为一旦显现在压轴题,那么有的时候往往比函数题,方程题更为麻烦；这题求 AB比较简洁,过A 做 BP垂线,利用等腰直角三角形的性质,将APB分成两个有很多已知量的 RT；但为求PD 时候就很麻烦了；PD 所在的三角形PAD为个钝角三角形,所以就需要我们将PD 放在一个直角三角形中试试看；构筑包含PD的直角三角形,最简洁的就为过P 做 DA 延长线的垂线交DA 于 F, DF 交 PB 于 G；这样一来,得到了PFA AGE等多个 RT；于为与已求出的AB等量产生了关系,得解；DC精品学习资料精选学
