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1、人教版九年级上册数学第二十四章与圆有关的位置关系知识点一 点和圆的位置关系1点和圆的位置关系示意图点和圆的位置关系点和圆的位置关系有：点在圆内, 点在圆上，点在圆外三种点和圆的位置关系由这个点到圆心的距离与半径的数量大小关系决定设O的半径为r，点P到圆心的距离OPd，则有：(1)点P在圆外dr；(2)点P在圆上dr；(3)点P在圆内dr如图，点A在园内，点B在圆上，点C在圆外容易看出：OAr，OBr，OCr例1：在ABC中，C90，AB3cm，BC2cm，以点A为圆心，以2cm为半径作圆，则点C与A的位置关系（ ） A点C在A上 B点C在A外 C点C在A内 D不能确定（针对练习1）已知O的半径
2、是4cm，OP2cm，则点P与O的位置关系是在O （填“内”、“上”、“外”）已知圆的半径为6，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是 已知O的半径是5cm，OA12cm，P为OA的重点，则点P与O的位置关系是 若圆的半径为8cm，如果一个点和圆心的距离为8cm，那么这个点和这个圆的位置关系是（ ） A点在圆上 B点在圆外 C点在圆内 D点在圆内或圆外例2：如图，RtABC中，ACB90，CDAB于D，AC3，BC4，以C为圆心，24为半径画C，则点D在（ ） AC上 BC内 CC外 D以上都有可能（针对练习2）在等腰ABC中，B、C为定点，ACAB，D为BC的中点，以BC为直径作D(1)顶
3、角A等于多少度时，点A在D上？(2)顶角A等于多少度时，点A在D内部？(3)顶角A等于多少度时，点A在D外部？知识点二 三角形的外接圆示意图点和圆的位置关系经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心从三角形外心的定义知：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等如图，分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，设它们的交点为O，则OAOBOC于是以点O为圆心，OA(或OB、OC)为半径，便可作出经过A、B、C三点的圆因为过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O，半径等等于OA，所以这样的圆只有一个过一
4、点可以作 圆；过两点可以作 圆；并且这些圆的在以这两点为端点的 上；过三点可以作 圆 的三个确定一个圆例3：如图，若等腰ABC，ABAC，BC8，则它的外接圆的半径为 如图，已知等腰ABC的外接圆的半径为5，底边BC为8，求ABC的面积. 图1 图2 图3 图4（针对练习3）如图3，ABC120，AB6，则它的外接圆的半径为 如图4，在ABC中，ABAC10，BC12，则其外接圆的半径是 .知识点三 直线和圆的位置关系示意图直线l和O的位置关系交点个数点O到直线l的距离d相交2dr相切1dr相离0dr如图，直线和圆有 位置关系直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆 ，这条直线叫做圆的割线
5、直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆 ，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆 除了根据直线和圆的交点数来判断其关系，我们也可以通过比较直线1与圆心O的距离d与半径r的大小关系来确定直线和圆的位置关系例4：已知RTABC人直角边AC3，BC4，若以C为圆心，为半径作圆，则C与斜边AB的位置关系是_ 等腰ABC中，ABAC5，BC6，若直线BC与A相切，则A的半径为 _ （针对练习4）O的半径为cm，直线l和点O距离为dcm，如果直线l与O有公共点，那么（ ） A. d Bd Cd D 0dABC中，C900，BD平分ABC交AC于D，BC8cm
6、，BD10cm，以D为圆心，5cm为半径的圆与AB的位置关系是（ ） A. 相交 B 相切 C 相离 D 不能确定知识点四 切线的判定与性质示意图切线的判定切线的性质1定义法(直线与圆只有唯一的公共点)2距离法(直线与圆心的距离等于圆的半径)3切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径如图，在O中，经过半径OA的外短点A作直线lOA，这时圆心O到直线l的距离就是O的半径，直线l就是O的切线如果直线l是提O的切线，切点为A,这时圆的半径就是圆心O到直线l的距离，所以直线lOA一般的，连半径证垂直或作垂直证半径是证明圆的切线常用的方法
7、简称为：有切点，连半径，证垂直；无切点，做垂直，证半径切线的证明方法：切点已知：连半径，证垂直；切点未知：做垂直，证半径例5：如图，ABC中，ABAC，以AC为直径作O与BC交于点D，DEAB于E，求证：DE是O的切线（针对练习5）如图，ABC内接于O，B60，CD是O的直径，点P是CD延长线上的一点，且APAC求证：PA是O的切线例6：如图，ABC中，ABAC，O为BC中点，以O为圆心的圆与AB相切于点E，求证：AC与圆O相切（针对练习6）如图，已知O是正方形ABCD的对角线上一点，以O为圆心、OA长为半径的圆O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F求证：CD与圆O相切例7 如图，BD
8、为圆O的直径，A为BC弧的中点，AD交BC于点E，过点D作圆O的切线，交BC的延长线于F(1)求证：DEEF；(2)AE2，DE4，求DB的长（针对练习7）如图，ABAC，点O在AB上，O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DFAC于F(1)求证：DF是O的切线； (2)若AC与O相切于点G，O的半径为3，CF1，求AC长知识点五 切线长定理切线长与切线长定理经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段长叫做点到圆的切线长如图，PA是O的切线，切点为A，则PA是点P到O的切线长切线长定理：从圆外一点可引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角示意图切线长定理
9、的证明如图，连接OA和OBPA和PB是O的两条切线，OAAP，OBBP又OAOB，OPOP，RtAOPRtBOPPAPB，APOBPO例8 如图，PA、PB、DE分别切于A、B、C，若PO10，求O的半径（针对练习8）梯形ABCD中，ABCD，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AD、CD、BC都相切已知AD6，BC4，求AB的长知识点六 三角形内切圆与内心示意图三角形的内切圆与内心如图，分别作B,C的平分线BM、CN，设它们交于点I,那么点I到AB、BC、CA的距离都相等以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则I与ABC的三条边都相切与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆如图，I是
10、ABC的内切圆内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心如图，点I是ABC的内心例9 如图1，I是ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，AB、BC、CA的长分别是c、a、b，其中a0，b0，c0(1)用a、b、c表示AF、BD、CE的长(2)如图2，若ABC90，用a、b、c表示I的半径r（针对练习9）如图，ABC的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于点D、E、FAB13，BC14，CA11，求AD、BE、CF的长【精练习题】1.已知AB为O的直径，P为O上的任意一点，则点P关于AB的对称点 P与O的位置关系为（ ）A在O内B.在O上 C.在O外D.无法确定2.在直角坐标系中，以
11、原点O为圆心，5为半径做圆，下列各点，一定在圆上的是（ ）A（2，3）B.（4，3） C.（1，4）D.（2，4）3.如图，PA是O的切线，切点为A，PA5，APO30，则O的半径长为 第3题图 第4题图 第5题图4如图，AB与O相切于点B，AO的延长线交O于点C，连接BC，若A36，则C的度数是 5如图，O中，AO为半径，AB为弦，BC为切线，且OAABBC，OC交O于点E，AC交O于点D，则BAC的度数是 ，ACO的度数是 6如图，点D在O的直径AB的延长线上，且BDOB，若CD切O于点C，则CAB 第6题图7.已知：如图，ABC中，ABAC，点O在AB上，O过点B且分别与边AB、BC交于D、E两点，过D作DFAC，垂足为F（1）判断DF与O的位置关系，并证明你的结论（2）若AC与O相切于点G，O的半径为3，CF1，求AG的长
