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1、,2021年12月2日星期四,(必修1)第三章 函数与方程,3.2 函数模型及其应用,3.2.1 几类不同增长的函数模型,你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？,大约在一千五百年前，大数学家孙子在孙子算经中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”,这四句的意思就是：有若干只鸡和兔，共有35个头，94只脚，那么鸡和兔各有多少只？,引入,大约在一千五百年前，大数学家孙子在孙子算经中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”,他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.,孙子的大胆解法
2、：,这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数.,鸡数就是：351223.,即兔子数是：473512；,引入,有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋,1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只,教科书第三章的章头图：（澳大利亚兔子数“爆炸”）,可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口,这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科
3、学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气,教科书第三章的章头图：（澳大利亚兔子数“爆炸”）,一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型,可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的.,教科书第三章的章头图：（澳大利亚兔子数“爆炸”）,1.数学模型：,就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.,2.数学模型方法：,是把
4、实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.,基本概念,例1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方 案供你选择,这三种方案的回报如下:,方案一:每天回报40元.,方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元.,方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一倍.,请问你会选择哪种投资方案?,范例讲解,例1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方 案供你选择,这三种方案的回报如下:,方案一:每天回报40元，,方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元，,方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一倍，,解:设第x
5、天所得回报是y元,常函数,正比例函数,指数型函数,进行描述,范例讲解,三种方案所得回报的增长情况:,范例讲解,三种方案累计的回报数:,结论: 投资8天以下(不含8天),应选择第一种投资 方案;投资810天,应选择第二种投资方案;投资 11天(含11天)以上,则应选择第三种投资方案.,范例讲解,例2.某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制 定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到 10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y (单位:万 元)随销售利润x的增加而增加,但奖金总数不超过 5万元,同时奖金不超过利润的25%,现有三个奖励 模型: 其中哪个模型能符合公司的要求?,范例讲解,分别
6、做出函数,的图象,范例讲解,(1)确定奖金总数不超过5万的模型：,通过函数图像直观的观察,利用函数的值域来确定,结论： 符合要求。,分析步骤：,(2)计算按模型 奖励时，奖金是 否不超过利润的25,范例讲解,令,作出函数 的图象：,范例讲解,由图象可知它是递减的，因此,即,所以，当x 10,1000 时，,说明按模型 奖励，奖金不会 超过利润的25。,综上所述，模型 确实能符合 公司要求。,范例讲解,一次函数y=kx+b(k0)、 指数函数y=ax(a1)、 对数函数y=logax (a1)、 幂函数y=xn (n0) 在(0,+)上都是增函数.,为便于研究它们的增长差异，不妨以一次函数y=2
7、x+1、指数函数y=1.5x、对数函数y=log1.5x、幂函数y=x1.5例，观察在(0,+)上的图像变化趋势及增长差异情况.,一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异,一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异,一次函数y=kx+b(k0)、 指数函数y=ax(a1)、 对数函数y=logax (a1)、 幂函数y=xn (n0) 在(0,+)上都是增函数.,一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异,通过图像和表格，容易看出，随着x的增大，各、函数值的变化及相应增量规律为：,直线型均匀上升，增量恒定；,指数型急剧上升，增量快速增大；,对数型缓慢上升，增量逐渐减少；,幂函数型虽上升较快，但随着x的不断增大上升趋势远不如指数型，几乎有些微不足道，其增量缓慢递增.,一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异,函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述. 学习了常数函数、一次函数、指数函数、幂函数、对数函数的图像变化趋势及增量差异：,直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解了它们的增长差异性,课堂小结,再见！,谢谢大家！,知识是宝库， 而实践是开启宝库的钥匙.,世间无所谓天才，它仅是刻苦加勤奋.,
