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1、第五章 梁弯曲时的位移 梁的位移挠度及转角 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 按叠加原理计算梁的挠度和转角 奇异函数梁挠曲线的初参数方程 梁的刚度校核提高梁的刚度的措施 梁内的弯曲应变能1精选课件 当梁发生对称弯曲时，梁的轴线在纵向对称纵向对称平面平面内弯成一条平面曲线。5-15-1 梁的位移梁的位移 挠度和转角挠度和转角光滑连续曲线 线位移 角位移梁的位移位移挠度挠度 w w转角转角 q q挠曲线2精选课件w = f ( x )小变形情况下：f = tanq q挠曲线方程挠曲线方程（挠度方程挠度方程）q = f ( x ) 转角方程转角方程图示坐标下：w向下向下为正正， q 顺时针顺时针转为正
2、正。3精选课件高等数学：梁中性层的曲率：5-25-2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 及其积分及其积分1r (x)M(x)E Iz=1r (x)w（1 w ）2 3/24精选课件MM 0 0，w w 0 0MM 0 0，w w 0 0=M(x)E Izw（1 w ）2 3/2取负号取负号! !5精选课件挠曲线微分方程挠曲线近似近似微分方程小小变变形形=M(x)E Izw（1 w ）2 3/2w（1 w ）2 3/2=M(x)E Izw =M(x)E Iz6精选课件等直梁：E I w M(x)E E I I 为常量为常量积分常数积分常数由边界条件边界条件、连续条件连续条件确定积分法
3、7精选课件wA 0wB 0wA 0qA 0 挠曲线上某些点的已知位移已知位移（挠度和转角）条件 边界条件边界条件边界条件边界条件 支座处的约束条件约束条件8精选课件 挠曲线的任意点上，有唯一确定唯一确定的挠度和转角 连续条件连续条件 当弯矩方程需要分段分段建立时，在相邻梁段的交接处交接处，应具有相同的相同的挠度和转角。错！错！错！错！约束条件连续条件边界条件本教材中9精选课件 例1：悬臂梁在自由端受集中力F作用，试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度。设梁的弯曲刚度为 EI。P160 例5-110精选课件积分积分x = 0 时：边界条件边界条件11精选课件 例2：简支梁在D点受集中
4、力F 作用，试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大挠度。设梁的弯曲刚度为 EI。P162 例5-312精选课件F FA AF FB Bx xx xAD段（ 0 x a ）：DB段（ a x l ）：13精选课件AD段（ 0 x a ）：14精选课件DB段（ a x l ）：15精选课件x = a 时：连续条件连续条件x = l 时：x = 0 时：边界条件边界条件确定积分常数积分常数16精选课件ADAD段（段（ 0 0 x x a a ）：）：DBDB段（段（ a a x x l l ）：）：17精选课件可以证明可以证明：当a b 时，梁最大挠度发生在AD段。而而 对于受任意荷载的简支梁简支梁，
5、若挠曲线上无拐点无拐点，则可用梁中点梁中点的挠度代替最大挠度。wC 与 wmax 非常接近，最大误差2.65。18精选课件 例3：悬臂梁如图，已知F、a，M0.5 Fa，梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形状。ABCDaaaF F MM19精选课件ABCDaaaF F MMx xy yM 图0.5Fa0.5FaHMM0 0，挠曲线上凸上凸；MM0 0，挠曲线下凸下凸；HH 为挠曲线的拐点拐点；MM0 0，挠曲线为直线直线。20精选课件例4：已知一直梁的挠曲线方程为试求： 端点（ x 0 及 x l ）的约束情况； 画弯矩图、剪力图； 荷载情况，并画出梁的简图。反问题反问题正问题正问
6、题21精选课件固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端活动铰支座活动铰支座22精选课件抛物线抛物线直线直线23精选课件FS 图（ q0l ）3858M 图（ q0l 2 ）189128q q0 01 18 8q q0 0l l 2 2FS 图（ q0l ）3858189128q q0 0静定梁（简支梁）静定梁（简支梁）超静定梁超静定梁静定梁静定梁 ？24精选课件 当某一参数参数（如内力、应力、位移等）与荷载成线性关系成线性关系时，叠加原理5-35-3 按叠加原理计算梁的按叠加原理计算梁的挠度和转角挠度和转角 多个多个荷载作用下引起的参数等于各个荷载单独单独作用下所引起的参数的叠加叠
7、加。积分法挠度和转角的普遍方程普遍方程 梁上荷载复杂时，须分段建立弯矩方程，积分常数成倍增长，确定积分常数十分烦琐。叠加法、奇异函数法（初参数法）、能量法等P372 附录25精选课件求 wC 、qA+wC ( q ) 、qA ( q )拆拆 分分wC (F ) 、qA (F ) +叠叠 加加26精选课件0.5 lABq qwB ( q ) 、qB ( q ) BC0.5 l+拆拆 分分求 wC 、qC变形位移变形位移w wB B( (q q) ) q qB B( (q q) ) 0.50.5 l l0.5 l0.5 lABCq qq qB B( (q q) )刚体位移刚体位移27精选课件叠加法
8、叠加法不仅可将荷载荷载拆开，进行上上、下下叠加； 还可将梁梁拆开，进行左左、右右叠加。注意：注意： 拆分时不能改变梁的受力受力情况； 叠加时不能改变梁的变形变形情况。28精选课件 例：外伸梁受力如图，已知 F、q、a，试用叠加法求梁自由端 C 的挠度。设梁的弯曲刚度为 EI。2 aaABCq qF F29精选课件2 aABq qaF FBCF FMM+拆拆 分分w wC C ( (F F ) )q qB B a aqB = qB ( q ) +qB ( M )wC (F )2 aaABCq qF F30精选课件刚度条件刚度条件一、梁的刚度校核5-55-5 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁的刚度
9、的措施提高梁的刚度的措施31精选课件普通机床主轴：普通机床主轴：屋屋梁和楼板梁：梁和楼板梁：吊车吊车梁：梁：钢闸门主钢闸门主梁：梁：32精选课件 例：简支梁横截面由两个槽钢组成，受力如图。已知 F1 =120 kN、F2 =30 kN、F3 =40 kN、F4 =12 kN；钢s =170 MPa，t =100 MPa；E =2.1105 MPa；梁w / l= 1 / 400。试选择槽钢的型号。P173 例5-833精选课件SF FA AF FB BF FSmaxSmax138 kN138 kNMMmaxmax62.4 kNm62.4 kNm画内力图34精选课件按正应力强度条件正应力强度条件
10、选择槽钢型号查型钢表(P370)要校核校核正应力强度条件相对误差为35，满足满足正应力强度条件。，选用两个两个 20a20a 号槽钢。35精选课件 校核校核切应力强度条件切应力强度条件满足满足查型钢表（20a20a 号槽钢）：36精选课件 校核校核刚度刚度条件满足满足选用两个20a20a 号槽钢b bi i为为F Fi i离支座最离支座最近的距离近的距离C C37精选课件二、提高梁的刚度的措施 梁的位移除与梁的支承支承和荷载荷载情况有关外，还与下列因素有关：材料材料 与弹性模量 E 成反比反比截面截面 与惯性矩 I 成反比反比跨长跨长 与跨长 l 的 n 次幂成正比正比增大增大梁的弯曲刚度 E
11、I调整调整跨长和改变结构38精选课件F Fq qq qABq qAB缩短跨长缩短跨长增加约束增加约束超静定结构超静定结构39精选课件OqMe 纯弯曲纯弯曲5-65-6 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能40精选课件 横力弯曲横力弯曲应变能弯曲应变能（弯曲变形）剪切应变能（剪切变形）可略去不计可略去不计SS41精选课件lABF F 例：悬臂梁长为 l，弯曲刚度为 EI，受集中力F 作用。试求梁的应变能，并利用功能原理求 A端的挠度。P178 例5-942精选课件lABF Fx x横力弯曲wA应变能应变能外力作功外力作功43精选课件56 ；512、23 ；524 。作业：作业：44精选课件感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
