《2022年2022年高等数学典型例题详解第五章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年高等数学典型例题详解第五章（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载例 1求 lim13232332n2nn nn分析将这类问题转化为定积分主要为确定被积函数和积分上下限如对题目中被积函数难以想到,可实行如下方法：先对区间0、 1 n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载找出被积函数与积分上下限解将区间 0、 1 n 等分,就每个小区间长为入和式中各项于为将所求极限转化为求定积分即ix1 ,然后把 n1112nnn的一个因子1 乘n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1323233lim1 3 13 23 n 1 33 精品学习资料精选学习资料 - - -
2、 欢迎下载2limnnn2nn =nnnnn=0xdx4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22例 22xx dx= 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载02解法 1由定积分的几何意义知,02xx2 dx 等于上半圆周 x12y21 y0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2与 x 轴所围成的图形的面积故02 xx2 dx =2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法 2此题也可直接用换元法求解令x1= sin t （t 2）,就22精品学习资料精选学习资料 -
3、 - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2202 xx dx =21sint costdt = 222021sint costdt = 22 cos2 tdt =02精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1例 3比较x,1 x21,1xdx 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载e dx2e dx22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2分析对于定积分的大小比较,可以先算出定积分的值再比较大小,而在无法求出积分值时就只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小精品学习资料精选学习
4、资料 - - - 欢迎下载解法 1在 1、2 上,有 exex 而令f xex x1) ,就f xex1当 x0 时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x0 ,f x在 0、 上单调递增,从而f xf 0 ,可知在 1、2 上,有 e1 x 又精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1f xdx2f xdx ,从而有11x dx1 xe dx1 x2edx 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21解法2在 1、2 上,有 ex2222exxe2x精品学习资料精选学习资料
5、 - - - 欢迎下载1221f xdxf xdx 因此由泰勒中值定理e1xx 得 e 2.1x 留意到精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11 x1 x 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1xdxe dxedx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4 估量定积分0 x2 x222的值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载edx2分析要估量定积分的值、关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解设x 2 xx 2 x1精品学习资料精选学习资料 - - -
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7、e202exx dx212e 4 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5设f x, g x 在 a、 b 上连续,且g x 0 ,f x0 求 limnbg x naf xdx 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解由于f x在 a、b 上连续,就f x 在 a、b 上有最大值M 和最小值 m 由f x 0知精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载M0 , m0 又g x 0 ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载
8、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 于 lim n mlimbnamg x dxnM1 ,故bag x nf x dxbnaMg xdx 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 6 求n p sin xlimn、p、 nbg x naf xdx =bag xdx 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limdxnnx为自然数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析这类问题假如先求积分然后再求极限往往很困难,解决此类问题的常用方法为利用积分中值定理与夹逼准就解法 1利用积分中值定理精品学习资料精选学习资料
9、 - - - 欢迎下载设f x sin x x、 明显f x在 n、np 上连续 、 由积分中值定理得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n p sin xdxsinp 、 n、 np 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nx当 n时、 而 sin1 、 故精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载limn p sin x dxlimsinp0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nnx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法 2利用积分不等式由于n p sin xn p sin xn p 1np精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dxd
10、xdxln、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而 limlnnpnnnx0 、所以nlimxn p sin xdxnxn0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nnx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 7求 limn1 x n0 1xdx bb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法 1由积分中值定理nf xg xdxf aag x dx 可知精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1xdx =10 1x1又1 n0x dx, 01 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim1nx dx1lim0且 111 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n0n故limnn121n1 xdx0 0 1x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法 2由于 0于为可得x1,故有n0xx n 1x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由于1 xn00 1x1 ndxx dx 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载
