《2022年2022年高数可分离变量的微分方程教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年高数可分离变量的微分方程教案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载72可分别变量的微分方程观看与分析1 求微分方程y2x 的通解为此把方程两边积分得2y xC精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一般地方程 yfx的通解为y2 求微分方程y2xy2 的通解f xdxC 此处积分后不再加任意常数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 y 为未知的所以积分2xy2dx 无法进行方程两边直精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载接积分不能求出通解为求通解可将方程变为1 dy y22xdx两边积分得精
2、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1x2C或 yy1x2C精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可以验证函数y1x2C为原方程的通解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一般地假如一阶微分方程y x、 y 能写成 gydy f xdx形式就两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程Gy Fx C由方程 Gy Fx C 所确定的隐函数就为原方程的通解对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式Px ydx Qx ydy 0在这种方程中变量 x 与 y 为对称的如把 x 看作自变量.y 看作未知函数就 当 Qx、y
3、0 时有dyPx、 ydxQ x、 y如把 y 看作自变量. x 看作未知函数就 当 Px、y 0 时有dxQ x、 ydyPx、 y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载可分别变量的微分方程假如一个一阶微分方程能写成gydyfxdx 或写成 yxy的形式就为说能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy另一端只含x 的函数和dx那么原方程就称为可分别变量的微分方程争论以下方程中哪些为可分别变量的微分方程？1 y2xy为y 1dy 2xdx 23x2 5x y0为dy3x2 5x dx 3 x2 y2dxxydy=0不为4 y1 x y2 xy2为y1x1y2精品学习资料精
4、选学习资料 - - - 欢迎下载x y5 y10为10yxdy 10 dx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6 yxy不为yx可分别变量的微分方程的解法第一步分别变量将方程写成gydyf xdx 的形式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其次步两端积分g ydyf xdx设积分后得Gy F x C精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第三步求出由 G y F x C 所确定的隐函数y x或 xyGy F x Cyx或 xy 都为方程的通解其中 Gy F x C 称为隐式 通 解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1 求微分方程dy2xy 的通解 dx
5、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解此方程为可分别变量方程分别变量后得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 dy y两边积分得2xdx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 dy y2xdx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22即ln|y| x2 C1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从而yexC1eC1 ex精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于eC1 仍为任意常数把它记作C便得所给方程的通解yCex2例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比已知 t 0 时铀的含
6、量为M 0求在衰变过程中铀含量M t随时间 t 变化的规律精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载解 铀的衰变速度就为M t 对时间 t 的导数 dMdt由于铀的衰变速度与其含量成正比故得微分方程dMMdt其中 0 为常数前的曲面号表示当t 增加时 M 单调削减即 dM0dt由题意初始条件为M |t 0 M 0将方程分别变量得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两边积分得dM MdMMdtdt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即ln Mt ln C也即 M Cet由初始条件得 M 0 Ce0 C所以铀含量M t随时间 t 变化的规律MM 0 et例
7、3 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系解设降落伞下落速度为vt 降落伞所受外力为Fmg kv k 为比例系数 依据牛顿其次运动定律Fma得函数 vt应满意的方程为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m dvdtmgkv精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载初始条件为v|t 0 0方程分别变量得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dv mg两边积分得dtkvmdvdt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mg1 lnmg km gkvkvmk tmtC1 mekC1精品学习资料精选学习资
8、料 - - - 欢迎下载即vkCe Ck将初始条件v|t 0 0 代入通解得 Cmgkm gk t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为降落伞下落速度与时间的函数关系为v1ke m 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dy2例 4 求微分方程1xy dx解 方程可化为xy2的通解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dy dx分别变量得1x1y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1两边积分得1 2 dy y1xdx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1dy1y21xdx即 arctan y1 x2xC2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为原方程的通解为ytan1 x22xC精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载师生互动设计P304： 1（ 1）（ 2）（ 3）（ 5）, 2（ 3）作业 ： P304： 1（ 4）（ 7）（ 8）（ 10）, 2（ 2）, 6精品学习资料
