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1、基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若a,bR，则a2+b22ab （2）若a,bR，则ab a2+b222、基本不等式一般形式（均值不等式）若a,bR+，则a+b2ab3、基本不等式的两个重要变形（1）若a,bR+，则 a+b2ab（2）若a,bR+，则ab (a+b2)2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若x0，则x+ 1x2 (当且仅当x=1时取“=”）（2）若x0，则x+ 1x-2 (当且仅当x= -1时取“=”）（
2、3）若ab0，则 ab+ba2 (当且仅当时取“=”）（4）若a,bR，则ab (a+b2)2a2+b22（5）若a,bR+，则11a+1b ab a+b2a2+b22特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”利用基本不等式求最值常用技巧一：凑项例题1：若x 53 ，求y=3x+ 43x5 的最小值；例题2：已知，求函数的最大值；二：凑系数例题3：当0x4时，yx(82x)的最大值为 三：巧用“1”的代换求最值问题例题4：已知，且 1x+9y =4，求的最小值； 例题5：若正数x，y满足x3y5xy，求3x4y的最小值；四： 分离例题6：求的值域例题7：求函数的值域；四：取平方例题8：若，求的
3、最大值；例题9：求函数的最大值；例题10：已知x，y为正实数，3x2y10，求W的最大值例题11：求函数的最大值；综合型：例题12：已知a，b是正数，且(ab)(a2b)ab9，则3a4b的最小值等于_例题13：已知x0，y0，x+2y+2xy3，则x+2y的最小值为 例题14：已知正数x，y满足x+y1，则 4x+2+1y+1的最小值为 例题15：若实数a，b满足ab4ab+10（a1），则（a+1）（b+2）的最小值为 课堂反馈一选择题（共4小题）1已知a0，b1，且a（b1）9，则a+b的最小值为（）A5B6C7D82若正实数x，y满足x+y+xy30，则x+y的最小值为（）A3B2C3
4、D 323已知实数x，y0，且 1x+y1，则2x+1y的最小值是（）A6B3+22C2+32D1+24若实数m，n0，满足2m+n1，以下选项中正确的有（）Amn的最小值为 18B 1m+1n的最小值为42C 2m+1+9n+2的最小值为5D4m2+n2的最小值为 12二多选题（共4小题）5已知实数a，b满足a2ab+b0（a1），下列结论中正确的是（）Ab4B2a+b8C 1a+1b1Da+ab16下列说法正确的有（）Ay= x2+1x的最小值为2B已知x1，则y=2x+ 4x1 -1的最小值为42+1C若正数x，y为实数，若x+2y3xy，则2x+y的最大值为3D设x，y为实数，若9x2
5、+y2+xy1，则3x+y的最大值为 22177下列推导过程，正确的为（）A因为a、b为正实数，所以 ba+ab2baab2B因为xR，所以 1x2+11Ca0，所以 4a+a24aa4D因为x、yR，xy0，所以 xy+yxxy+yx2xyyx=28已知a，b为正实数，则下列判断中正确的是（）A(a+1a) (b+1b) 4 B若a+b2，则2a+2b的最小值为4C若ab，则 1a2 1b2 D若a+b1，则 1a+4b的最小值是8三填空题（共4小题）9已知x23，则3x+23x2的最大值为 10已知函数f（x）3x+a3x+1（a0）的最小值为5，则a 11已知a0，b0，则 1a+ab2 +b的最小值为 12已知x0，y0，且 12x+1+xy+11，则y1x的最小值为 四解答题（共4小题）13已知x0，y0，x+2y+xy30求：（1）xy的最大值；（2）x+y的最小值14（1）若x，y是正数，且 1x+4y1，则xy的最小值；（2）若x3，求y2x+1+1x3的最大值15若正数a，b满足a+b1，求2a+1+2b+1的最大值16已知a0，b0，a+3b1（1）求 1a+3b的最小值；（2）若ma2+9b2+7ab恒成立，求实数m的取值范围9
