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1、更多资料请加QQ群822614957，不断更新第1讲 正余弦定理难点突破三角函数10级正余弦定理难点突破满分晋级 三角函数9级三角函数综合三角函数8级三角恒等变换公式综合应用新课标剖析当前形势正余弦定理在近五年北京卷（理）中考查513分高考要求内容要求层次具体要求ABC正弦定理、余弦定理能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题解三角形通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第15题6分第10题5分第9题5
2、分第11题5分第15题13分知识切片 寒假知识回顾本板块主要都是一星和二星的题因为在寒假预习的时候，我们已经讲了一讲“正弦定理和余弦定理”，只不过当时讲的比较简单，就是直接运用公式，例题都是一星和二星的而在本讲会对知识进行加深，例题都在二星、三星和四星之间，老师在讲正余弦定理时，可能需要照顾班里学生的情况，也需要一些简单的题，所以老师在讲概念的时候，也可以让学生做做本板块的题、是正弦定理的题；、是余弦定理的题；、是正余弦定理的综合运用在中，若，则_【解析】 在中，则等于（）A或BCD以上答案都不对 【解析】在中，若，则【解析】 在中，已知，则（）ABCD 【解析】 在中，若，则【解析】 在中，
3、如果，那么角等于（）ABCD【解析】本讲的正余弦定理是同步课程，在预习时我们已经讲了正余弦定理，只不过当时只是讲公式的运用，而本讲会在这个基础上进行加深在做正余弦定理的时候我们会发现，有一种做题思想会一直运用，就是边角互化，本讲不会把边角互化这个做题思想单独列出来，老师可以在讲题的时候给学生进行讲解所以本讲会从头到尾都贯穿边角互化的做题思想1.1正余弦定理考点1：正弦定理知识点睛在中的三个内角，的对边，分别用，表示1正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即 ，； ， ， ； 面积公式：2正弦定理用于两类解三角形的问题： 已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角； 已
4、知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角【教师备案】在预习时我们已经把求三角形面积作为一个板块，所以建议老师在同步讲正弦定理时，把三角形面积放到一块去讲，而且三角形的多解情况我们在预习的时候也讲过，老师这里也可以再介绍一下例1主要是三角形的多解问题，例2是利用正弦定理进行化简为锐角为钝角关系式图形解的个数无解一解两解一解一解无解经典精讲【例1】 在中，若，则等于（ ）A或B或C或 D或在中，角所对的边分别为若，则等于 中，则的面积等于（ ）ABC或 D或【解析】 或 【例2】 （2012天津理6）在中，内角所对的边分别是，已知，则（ ）ABCD（2013年新课标
5、II）内角的对边分别为，已知则_若为钝角三角形，其中角为钝角，若，则的取值范围是（ ）ABCD【解析】 考点2：余弦定理知识点睛1余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即： 变形式为：2余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题： 已知两边和任意一个内角解三角形； 已知三角形的三边解三角形相对于正弦定理，因为余弦函数在上单调减，所以用余弦定理求三角形角度时没有多解的情况，因此可以用余弦定理来判断三角形的形状（锐角、直角或钝角三角形）勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理可以用勾股定理来证明经典精讲【例3】 在中，角，所对的边分别为，则边上的高
6、为_（2012北京理11）在中，若，则 在中，三个角的对边边长分别为，则的值为 （2012湖北理11）设的内角，所对的边分别是，若，则角_（2010北京卷7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰 长为，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A BC D【解析】 A1.2解三角形题型归纳考点3： 判断三角形形状知识点睛1解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用 ； ； 除了正弦定理和余弦定理，三角形中的这些很明显的恒等式的熟练应用是很重要的细节，将它们和正余弦定理串联起来，是解三角形问题能解决的基础2与三角形形状相关的几个结论 在中，若，则为等腰三
7、角形或直角三角形； 在中，若，则为等边三角形； 在中，若，则为直角三角形； 在中，若，则为直角三角形； 在中，若，则为直角三角形【教师备案】这些结论在B版教材必修5中都出现了，也不需要强记 利用正弦定理易证 可以和学生介绍一下：在中，有成立的证明略有难度思路有两种方法一：由三角恒等变换进行变形注意到，以及，可将题中的等式进行化简，所以，从而推出，方法二：由正余弦定理将边化为角故为直角三角形经典精讲求三角形形状一般有两种思路：一种是由角化边，然后通过分解因式得出边之间的关系，如下面例题的；一种是由边化角，得出角度之间的关系或者最大角的大小来判断，如下面例题的【铺垫】 在中，则这三角形一定是（ ）
8、A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形 在中，则这三角形一定是（ ）A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【解析】 D【例4】 判断满足下列条件的三角形的形状 ； ； ，； ；【解析】 为等腰三角形 为直角三角形 为等腰直角三角形 为等边三角形【点评】解这类问题，首先是要考虑用“边”算还是用“角”算，因为我们处理问题要求统一的对象，不能边和角都有如果用“边”算的话，一般来说是三个未知量，也就是三个，我们一般需要对其进行因式分解之类的化简如果用“角”算的话，一般来说是处理两个角的问题，如果遇到三个角都有的情况，一般我们可以通过三角公式来减少角的数量，比
9、较常见的就是考点4：解平面几何用正余弦定理解决平面几何时，需要将问题转移到一个个具体的三角形中去解决，很多时候要用到三角恒等变换，题目都有一定的难度这部分不是高考的重点，不用深究经典精讲【铺垫】（2010年陕西17）如图，已知，则 【解析】【例5】 如图，求已知圆内接四边形的边长分别为，求四边形的面积第题【解析】 考点5：解三角形应用题经典精讲【例6】 （2010陕西卷理17）如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东，点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到点需要多长时间？【解析】救援
10、船到达点需要小时【备选】（2013江苏18）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量， 求索道的长； 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解析】 索道的长为 当时，甲、乙两游客距离最短 乙步行的速度应控制在（单位：）范围内1.3正余弦定理综合运用考点6： 正余弦定理的综合运用知识点睛正余弦
11、定理的综合运用已知条件应用定理一般解法一边和两角（如，）正弦定理由，求角；由正弦定理求出与两边和夹角（如，）余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边；由正弦定理求出小边所对的角（此角一定是锐角）；再用三边（，）余弦定理由余弦定理求出角、；由，求出角两边与其中一边的对角（如，）正弦定理余弦定理由正弦定理求出角；由，求出角；再利用正弦定理或余弦定理求【教师备案】根据已知条件，运用正余弦定理及三角形六个元素之间的关系，灵活实现三角形的边与角的互相转化经典精讲【铺垫】（2010浙江卷理18）在中，角、所对的边分别为，已知 求的值； 当，时，求及的长【解析】 或【例7】 （2010江苏卷）在锐角三角形中，的对边分别为，则_（2013北京理）在中， 求的值； 求的值【解析】 【拓展】在中，角所对应的边分别为，求及【解析】，1已知的三边长为，内切圆和外接圆的半径分别是和，求证：【解析】 由正弦定理得，又，即2对于正三角形，是否存在既平分周长又平分面积的直线？若存在，这样的直线有几条？证明你的结论【解析】 存在，有条如图，设的边长为，则，假设一条 直线既平分周长又平分面积，与三角形的两条边相交于两点，设，则，或，有条线满足题意，且分别是
