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1、精选优质文档-倾情为你奉上圆的证明与计算第1问证切线（连半径证垂直）第2问计算1.（内蒙古呼和浩特8分）如图所示，AC为O的直径且PAAC，BC是O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，（1）求证：直线PB是O的切线；（2）求cosBCA的值【答案】（1）证明：连接OB、OP 且D=D， BDCPDO。DBC=DPO。BCOP。BCO=POA ，CBO=BOP。OB=OC，OCB=CBO。BOP=POA。又OB=OA， OP=OP， BOPAOP（SAS）。PBO=PAO。又PAAC， PBO=90。 直线PB是O的切线 。（2）由（1）知BCO=POA。设PB，则BD=，又PA=PB，AD=。
2、又 BCOP ，。 。 cosBCA=cosPOA=。 【考点】切线的判定和性质，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线长定理。【分析】（1）连接OB、OP，由，且D=D，根据三角形相似的判定得到BDCPDO，可得到BCOP，易证得BOPAOP，则PBO=PAO=90。（2）设PB，则BD=，根据切线长定理得到PA=PB，根据勾股定理得到AD=，又BCOP，得到DC=2CO，得到，则，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cosBCA=cosPOA的值。2.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分）如图，等圆O1 和O2 相交于A
3、,B两点，O2 经过O1 的圆心O1,两圆的连心线交O1于点M，交AB于点N,连接BM,已知AB=2。（1） 求证：BM是O2的切线；（2）求 的长。 【答案】解（1）证明：连结O2B，MO2是O1的直径，MBO2=90。BM是O2的切线。(2)O1B=O2B=O1O2，O1O2B=60。AB=2，BN=，O2B=2。=。【考点】切线的判定和性质，相交两圆的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，弧长的计算。【分析】（1）连接O2B，由MO2是O1的直径，得出MBO2=90从而得出结论：BM是O2的切线。（2）根据O1B=O2B=O1O2，则O1O2B=60，再由已知得出BN与O2B，从而计算
4、出弧AM的长度。3.（2012浙江省义乌市，20，8分）如图,已知AB是O的直径,点C、D在O上,点E在O外,EAC=D=60. （1）求ABC的度数；（2）求证：AE是O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长.【解析】（1）根据相等的弧长对应的圆周角相等，得ABC=D =60。（2）直径对应的圆周角为直角，则由三角形内角和为180，得出BAC的大小，继而得出BAE的大小为90，即AE是O的切线。（3）由题意易知，OBC是等边三角形，则由劣弧AC对应的圆心角可求出劣弧AC的长。3解：（1）ABC与D都是弧AC所对的圆周角 ABC=D =60 2分（2）AB是O的直径 ACB=90 3分B
5、AC=30BAE =BACEAC=3060=90 4分即BAAE AE是O的切线 5分OABCDE（3） 如图，连结OCOB=OC,ABC=60OBC是等边三角形OB=BC=4 , BOC=60AOC=1207分劣弧AC的长为 8分【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系，及三角形的内角和为180。相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等4. ( 2012年浙江省宁波市,23,8)如图在ABC中,BE是它的角平分线,C=900,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E交BC于点F.(1)求证:AC是O的切线;(2)已知sinA=,O的半径为4,求图中阴影部分的面积.【解析】1）连接O
6、E，OB=OEOBE=OEB.BE是ABC角平分线,OBE=EBC,OEB=EBC, OEBC,C=900,AEO=C=900,AC是O切线. 连接OFsinA= ，A=30 O的半径为4，AO=2OE=8，AE=4 ，AOE=60，AB=12，23题图 BC= AB=6 AC=6 ，CE=AC-AE=2 OB=OF，ABC=60，OBF是正三角形FOB=60，CF=6-4=2，EOF=60S梯形OECF= （2+4）2 =6 S扇形EOF=6042 360 = S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF6-【答案】（1）连接OE，OB=OEOBE=OEB.BE是ABC角平分线,OBE=EBC,
7、OEB=EBC, OEBC,C=900,AEO=C=900,AC是O切线.(2) 6-【点评】本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线5. (2012山东省聊城，24，10分）如图，O是ABC外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是弧上一动点，过点P作BC的平行线交AB延长线与点D.（1）当点P在什么位置时，DP是O的切线？说明理由.（2）当DP是O的切线时，求DP的长.解析：（1）根据PD/BC，可以天加辅助线由切线判定定理解题；（2）根据勾股定理与垂径定理求出O半径r，再结合ABEADP即可.解：（1）当P是BC中点
8、时，DP是O的切线.理由如下：AB=AC，又PA是O的直径.又AB=AC，PABC.DP/BC，PDAP.DP是O的切线.（2）连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理得，BE=.在RtABE中，据勾股定理，.设O的半径为r，则OE=8-r.在RtOBE中，.解得r=.DP/BC，ABE=D.又1=1，ABEADP.，即，DP=点评：本题是一道综合试题，以圆为载体考查了圆的基本知识、圆的切线、平行线、勾股定理、相似三角形、方程思想等，解题要冷静、细心、充分拓展数学核心知识，达到灵活解决问题.6(2012山东德州中考,21,10,)如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，垂足为D，连接
9、BE交AD于F，过A作BE交BC于G（1）判断直线AG与O的位置关系，并说明理由（2）求线段AF的长ABCEDFGO21【解析】（1）由题意可知点A是弧的中点，由垂径定理即可得出： OABE，又AGBE，OAAG所以AG和O的半径垂直，直线AG与O的位置关系相切（2）要求AF的长，先由已知得出AOB为等边三角形；在求出AD、BD的长，在RtBDF中由三角函数求出DF的值，然后求出AF=ADDF解：（1）AG与O相切. （1分）ABCEDFGO证明：连接OA，点A，E是半圆周上的三等分点，弧BA、AE、EC相等，点A是弧BE的中点，OABE又AGBE，OAAGAG与O相切 （5分）（2）点A，E
10、是半圆周上的三等分点，AOB=AOE=EOC=60又OA=OB，ABO为正三角形（6分）又ADOB，OB=1，BD=OD=， AD=（8分）又EBC=30，在RtFBD中， FD=BDtanEBC= BD tan30=，AF=ADDF=-=（10分）【点评】本题综合考查了圆与解直角三角形的相关知识，垂径定理和三角函数的定义考查是中考中的常考问题之一，需要重点掌握次知识7. (2012山东省临沂市，23，9分）如图，点A、B、C分别是O上的点，B=600，AC=3，CD是O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC.(1)求证：AP是O的切线；（2）求PD的长。【解析】（1）证明AP是O的切线
11、，连接OA，只需证明半径与直线的夹角是900，即PAO=900便可。（2）CD是O的直径，连接AD，ADC=900，又B=600，AC=3，应用三角函数可求得PD=AD=ACtan300=.解：（1）证明: 连接OA，B=600，AOC=2B=1200,OA=OC,ACP=CAO=300,AOP=600,又AP=AC.P=ACP=300，OAP=900，即OAAP,AP是O的切线；(2) CD是O的直径，连接AD，CAD=900，AD=ACtan300=.ADC=B=600，PAD=ADC-P=300,P=PAD,PD=AD=.【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线
12、是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角函数的应用要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题8（2012北京，20，5）已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交 的延长线于点，连结（1）求证：与相切；（2）连结并延长交于点，若，求的长【解析】圆与直线的位置关系；相似和三角函数【答案】（1）证明：连结OCODBC所以EOC=EOB在EOC和EOB中EOCEOB（SAS）OBE=OCE=90BE与O相切（2）解：过点D作DHABODHOBDOD：OB=OH：OD=DH：BD又sinABC=OD=6OH=4，OH=5，DH=2又ADHAFBAH：AB=DH：PB13
13、:18=2:FBFB=【点评】（1）利用全等三角形求出角度为90，即得到相切的结论。（2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。9（2012浙江省温州市，22，10分）如图，ABC中，D是边AB上一点，且是BC边上的一点，以EC为直径的经过点D。（1）求证：AB是的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长。【解析】欲证AB是的切线，只需证明ODAB欲求BD的长，只需利用特殊的三角函数值或勾股定理即可。【答案】（1）证明：连结OD，DOB=2DCB，又A=2DCB，A=DOBA+B=90，BDO=90，ODAB，AB是O的切线（2）解法一：过点O作OMCD于点M，OD=OE=BE=BO， BDO=90，B=30，DOB=60，DCB=
