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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)数学(文科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共10小题,每小题5分,共50分).1.(2014陕西,文1)设集合M=x|x0,xR,N=x|x21,xR,则MN=(). A.0,1B.(0,1)C.(0,1D.0,1)答案:D解析:由于M=x|x0,xR,N=x|x21,xR=x|-1x1,所以MN=x|0x1=0,1),故选D.2.(2014陕西,文2)函数f(x)=cos2x+4的最小正周期是().A.2B.C.2D.4答案:B解析:函数f(x)的最小正周期为22=,故选B.3.(2014陕西,文3)已知复数
2、z=2-i,则zz的值为().A.5B.5C.3D.3答案:A解析:zz=(2-i)(2+i)=22-i2=4-(-1)=5,故选A.4.(2014陕西,文4)根据下边框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是().A.an=2nB.an=2(n-1)C.an=2nD.an=2n-1答案:C解析:由程序框图可知a1=21=2,a2=2a1=22=4,a3=2a2=24=8,因此在an中满足a1=2,an=2an-1.所以an是首项和公比均为2的等比数列,故an=22n-1=2n,故选C.5.(2014陕西,文5)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是().
3、A.4B.3C.2D.答案:C解析:依题意,知所得几何体是一个圆柱,且其底面半径为1,母线长也为1,因此其侧面积为211=2,故选C.6.(2014陕西,文6)从正方形4个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为().A.15B.25C.35D.45答案:B解析:设正方形的四个顶点为A,B,C,D,中心为O,从这5个点中任取2个点,一共有10种不同的取法:AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,其中这2个点的距离小于该正方形边长的取法共有4种:AO,BO,CO,DO.因此由古典概型概率计算公式,可得所求概率P=410=25,故选B.7.(
4、2014陕西,文7)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是().A.f(x)=x3B.f(x)=3xC.f(x)=x12D.f(x)=12x答案:B解析:对于函数f(x)=x3,f(x+y)=(x+y)3,f(x)f(y)=x3y3,而(x+y)3x3y3,所以f(x)=x3不满足f(x+y)=f(x)f(y),故A错误;对于函数f(x)=3x,f(x+y)=3x+y=3x3y=f(x)f(y),因此f(x)=3x满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)=3x是单调递增函数,故B正确;对于函数f(x)=x12,f(x+y)=(x+y)12,f(x)f(y)=x
5、12y12=(xy)12,而(x+y)12(xy)12,所以f(x)=x12不满足f(x+y)=f(x)f(y),故C错误;对于函数f(x)=12x,f(x+y)=12x+y=12x12y=f(x)f(y),因此f(x)=12x满足f(x+y)=f(x)f(y),但f(x)=12x不是单调递增函数,故D错误.8.(2014陕西,文8)原命题为“若an+an+12an,nN+,则an为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是().A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假答案:A解析:由an+an+12an,得an+an+12an,即an+1an,所
6、以当an+an+12an时,必有an+1an,则an是递减数列;反之,若an是递减数列,必有an+1an,从而有an+an+12an.所以原命题及其逆命题均为真命题,从而其否命题及其逆否命题也均为真命题,故选A.9.(2014陕西,文9)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,x10,其均值和方差分别为x和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为().A.x,s2+1002B.x+100,s2+1002C.x,s2D.x+100,s2答案:D解析:由题意,得x=x1+x2+x1010,s2=110(x1-x)2+(x2-x)2+(x10-
7、x)2.因为下月起每位员工的月工资增加100元,所以下月工资的均值为(x1+100)+(x2+100)+(x10+100)10=(x1+x2+x10)+1010010=x+100,下月工资的方差为110(x1+100-x-100)2+(x2+100-x-100)2+(x10+100-x-100)2=110(x1-x)2+(x2-x)2+(x10-x)2=s2,故选D.10.(2014陕西,文10)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为().A.y=12x3-12x2-xB.y=12x3+12x2-3xC.y
8、=14x3-xD.y=14x3+12x2-2x答案:A解析:由已知图形,可知该三次函数有0和2两个零点,因此可设其解析式为y=ax(x-2)(x+m).因为y=ax(x-2)(x+m)=ax3+amx2-2ax2-2amx,所以y=3ax2+2amx-4ax-2am.又因为直线y=-x和y=3x-6分别是该三次函数图象在点(0,0)和(2,0)处的切线,由导数的几何意义知y|x=0=-1,y|x=2=3,于是有-2am=-1,12a+4am-8a-2am=3,解得a=12,m=1.所以所求三次函数的解析式为y=12x3-12x2-x,故选A.二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本
9、大题共5小题,每小题5分,共25分).11.(2014陕西,文11)抛物线y2=4x的准线方程为.答案:x=-1解析:在抛物线y2=4x中,由2p=4,得p2=1.又因为其开口向右,故其准线方程为x=-1.12.(2014陕西,文12)已知4a=2,lg x=a,则x=.答案:10解析:由4a=2,可得a=log42=12.所以lg x=12,即x=1012=10.13.(2014陕西,文13)设02,向量a=(sin 2,cos ),b=(1,-cos ),若ab=0,则tan =.答案:12解析:由ab=0,可得sin 2-cos2=0,即2sin cos -cos2=0,整理得cos (
10、2sin -cos )=0.又因为02,所以cos 0.所以2sin -cos =0,即2sin =cos .所以tan =sincos=12.14.(2014陕西,文14)已知f(x)=x1+x,x0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x),nN+,则f2 014(x)的表达式为.答案:x1+2 014x解析:依题意,f1(x)=f(x)=x1+x,f2(x)=f(f1(x)=fx1+x=x1+x1+x1+x=x1+2x,f3(x)=f(f2(x)=fx1+2x=x1+2x1+x1+2x=x1+3x,由此可猜测fn(x)=x1+nx,故f2 014(x)=x1+2 014x.
11、15.(2014陕西,理15)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则m2+n2的最小值为.答案:5解析:由柯西不等式,可得(a2+b2)(m2+n2)(am+bn)2,所以5(m2+n2)25.所以m2+n25,即m2+n25,当且仅当an=bm时,等号成立.故m2+n2的最小值为5.B.(几何证明选做题)如图,ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF=.答案:3解析:由圆内接四边形的性质,可知AEF=ACB,AFE=ABC,所以AEFA
12、CB.所以AEAC=EFCB.又因为AC=2AE,CB=6,所以EF=126=3.C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点2,6到直线sin-6=1的距离是.答案:1解析:点2,6的直角坐标为2cos6,2sin6,即(3,1),又sin-6=1可化为32sin -12cos =1,所以该直线的直角坐标方程为x-3y+2=0.由点到直线的距离公式,可得d=|3-31+2|12+(-3)2=1.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分).16.(本小题满分12分)(2014陕西,文16)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成
13、等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cos B的值.分析:在第(1)问中,由a,b,c成等差数列,可得a,b,c间的等量关系,然后利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,同时结合(A+C)+B=.运用诱导公式可证得结论;在第(2)问中,由a,b,c成等比数列,可得a,b,c间的等量关系,结合c=2a可将b边也用a表示,然后运用余弦定理写出cos B的表达式并化简,即得其值.解:(1)a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+
14、sin C=2sin(A+C).(2)由题设有b2=ac,c=2a,b=2a.由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a24a2=34.17.(本小题满分12分)(2014陕西,文17)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.分析:在第(1)问中,由三视图可知,四面体ABCD中棱DA,DB,DC的位置关系以及这三条棱的长度,然后套用锥体体积公式可求得该四面体的体积;在第(2)问中,应先证四边形EFGH为平行四边形,这可由线面平行的性质定理证得,然后再证两相邻边垂直,这可由线面垂直的性质证得.(1)解:由该四面体的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1,AD平面BDC.四面体体积V=1312221=23.(2)证明:BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,BCFG,BCEH.FGEH.同理EFAD,HGAD,EFHG.四边形EFGH是平行四边形.又A
