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1、精选优质文档-倾情为你奉上第四节数列求和与数列的综合应用自|主|排|查1公式法与分组求和法 (1)公式法:直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和。等差数列的前n项和公式：Snna1d。等比数列的前n项和公式：Sn(2)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。2倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。(2)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项
2、求和。形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解。例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050。3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。(2)常见的裂项技巧: 。4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。微点提醒 1使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的
3、特点。2在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。小|题|快|练一 、走进教材1(必修5P47B组T4改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1 B. C. D. 2(必修5P61A组T4(3)改编)12x3x2nxn1_(x0且x1)。二、双基查验1若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为( )A2nn21 B2n1n21 C2n1n22 D2nn22若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10()A15 B12 C12 D15 3数列an的通项公式是an，前n项和为9，则n()A9B99 C1
4、0 D100 4已知数列an的前n项和为Sn且ann2n，则Sn_。 5数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列的前10项和为_。 考点一 分组转化法求和【典例1】已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3，求其前n项和Sn。 反思归纳1.若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求an的前n项和。2通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比或等差数列，可采用分组转化法求和。【变式训练】(2016北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4。(1)求an的通项公式； (2)设cnan
5、bn，求数列cn的前n项和。 考点二 错位相减法求和【典例2】(2016山东高考)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1。(1)求数列bn的通项公式； 反思归纳选择数列求和方法的依据是数列的通项公式，如该题第(2)问中通过化简数列cn的通项公式可知，其可以写成一个等差数列与等比数列的通项公式的乘积形式，故应采用错位相减法求和。【变式训练】(2016桐乡模拟)已知公比q不为1的等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且a4S4，a5S5，a6S6成等差数列。(1)求数列an的通项公式；(2)对nN*，在an与an1之间插入n个数，使这n2个数成等差数列，记插入的这
6、n个数的和为bn，求数列bn的前n项和Tn。 考点三 裂项相消法求和【典例3】(2017开封模拟)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*。(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有2nn2对一切nN*恒成立，求实数的取值范围。 微考场新提升1设等差数列an和等比数列bn首项都是1，公差与公比都是2，则ab1ab2ab3ab4ab5等于() A54 B56 C58 D57 2已知数列an的前n项和Snn26n，则|an|的前n项和Tn( )A6nn2 Bn26n18 C.D.3已知等比数列的各项都为正数，且当
7、n3时，a4a2n4102n，则数列lga1,2lga2,22lga3,23lga4，2n1lgan，的前n项和Sn等于()An2n B(n1)2n11 C(n1)2n1 D2n1 4(2017郑州模拟)整数数列an满足an2an1an(nN*)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 015项的和为_。 5在等比数列an(nN*)中，a11，公比q0，设bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50。 (1)求an的通项an；(2)若cn，求cn的前n项和Sn。 微专题巧突破数列的新定义问题先定义一个(一类)新数列，然后要求根据定义推断这个新数列的一些
8、性质或判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一个命题方向，这类问题形式新颖，常给人耳目一新的感觉。对于这类问题，我们应先弄清问题的本质，然后根据等差、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决。【典例】设Sn为数列an的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”。若数列cn是首项为2，公差为d(d0)的等差数列，且数列cn是“和等比数列”，则d_。 【变式训练】(1)(2016福建六校联考)对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，an的“差数列”的通项公式为2n，则数列an的前2 016项和S2 016( ) A22 01
9、72 B22 0171 C22 017 D22 0171(2)对于数列an，定义Hn为an的“优值”，现在已知某数列an的“优值”Hn2n1，记数列ankn的前n项和为Sn，若SnS5对任意的nN*恒成立，则实数k的取值范围为_。 第四节数列求和与数列的综合应用自|主|排|查1公式法与分组求和法 (1)公式法:直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和。等差数列的前n项和公式：Snna1d。等比数列的前n项和公式：Sn(2)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。2倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列的前n
10、项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。(2)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解。例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050。3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。(2)常见的裂项技巧: 。4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么
11、这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。微点提醒 1使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点。2在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。小|题|快|练一 、走进教材1(必修5P47B组T4改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1 B. C. D. 【答案】B2(必修5P61A组T4(3)改编)12x3x2nxn1_(x0且x1)。【答案】二、双基查验1若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为(C)A2nn21 B2n1n21 C2n1n22 D2nn22若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10()A15 B12 C12 D15 【答案】A3数列an的通项公式是an，前n项和为9，则n()A9B99 C10 D100 【答案】B4已知数列an的前n项和为Sn且ann2n，则Sn_。【答案】(n1)2n125数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列的前10项和为_。【答案】考点一 分组转化法
