《2022年高考数学重点必备解题方法11 指数与对数比较大小方法全归纳(解析版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学重点必备解题方法11 指数与对数比较大小方法全归纳(解析版)（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题11 指数与对数比较大小方法全归纳内容导图一、 基础方法方法一:通过图像单调性对于同底数的指数或者同底数的对数比较大小,可通过指数函数或对数函数的单调性进行判断.此方法具有一定的限制条件,即同底数.但此方法也是比较大小的基础.指数函数与对数函数的图像如下图所示: 方法二:运用图像规律指数函数图像规律:观察指数第一象限内的图像,逆时针旋转,指数函数的底数由小变大.对数函数图像规律:观察对数第一象限内的图像,逆时针旋转,对数函数的底数由大变小.注:此方法适用于不同底,同指数或同真数的大小比较.图像规律如下图所示: 方法三:通过媒介比较 将指数或对数值与作为中间量的,等一些特殊数值作比较,从而确
2、定指数或对数值的范围,指数常跟做比较,对数常跟做比较.也可根据题意与做比较.例1:设,则有( )A. B. C. D.【答案】 【解析】, , 方法四:特殊值牢记部分特殊的指数和对数值,对于比较指数和对数值的大小非常有帮助.指数特殊值:对数特殊值:例2:已知,则有( )A. B. C. D.【答案】 【解析】本题需要通过构造函数比较大小,也可以通过牢记对数特殊值快速解决大小关系, , ,例3:已知,则有( )A. B. C. D. 【答案】 【解析】二、 进阶方法方法一:对数等比定理(特别当时,)证明:因,所以 即.例4:若正数,满足,则_,_.【答案】【解析】因为正数,满足,所以 ,所以,解
3、得.故答案为.例5:已知,且,则=_.【答案】【解析】因为正数,满足,所以 ,.所以,故.故答案为.方法二:同步升(降)次法根据可知,.注意:一般出现在以2或者3为底数的对数比大小当中,底数真数次方一起同升同降.例6:设,则( )A. B.C. D.【答案】 【解析】因为,所以,又 ,故,即,故选.方法三:去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系的时候,需要将对数进行分离常数再比较.例如:.例7:设,则、的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】 【解析】由显然,又由于,故,故选.方法四:构造函数比较大小如图,图像的性质,有以下结论:(1)在区间上单调递增,在区间上单调递减;当时,取得
4、最大值;(2)极大值左偏,且;(3)关于与,当时,;当时,.口诀:大指小底.(大于看指数大,小于看底数大).证明:(1)函数的定义域为,当时,故 在上单调递增,在上单调递减;(2),注意:只能比较,或者 ,之类属于的左边或者右边,涉及左右互换.比较与,即比较与的大小,同除以得到与,根据函数的单调性即可判断;(3) 关于函数和函数比大小问题,都可以按照构造对数来比较,例如在比较,大小时,即比较大小,比较时, 即构造,即比较大小.例8:设、为正数,且,则( )A. B.C. D.【答案】 【解析】 因为、为正数,令,由得:,所以.又,且故,即,故选.例9:利用函数的性质比较的大小.【答案】 见解析
5、【解析】 解法一:,作出的图像,由图像知:,所以.解法二:三个数取对数得,即比较大小,由于函数在区间 上单调递减,故,所以.例10:若,且,则( )A. B.C. D.【答案】【解析】令, ,由于 故,故选.方法五:糖水不等式比较对数大小定理:若,则一定有,或者.通俗理解就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜.证明:, .在对数比大小中,遇到底数和真数成等差数列类型的,可以采用糖水不等式放缩法.例11:比较和大小.【答案】见解析【解析】根据糖水不等式,只需令,即,显然,故.注:需要考虑为什么令,因为,这样两个数的分母就相同,更便于比较.例12:利用对数函数的性质比较,的大
6、小.【答案】见解析【解析】因为,所以只需比较与的大小即可,又因为,所以,所以.例13:比较和的大小.【答案】见解析【解析】由,故例14:比较和的大小 【答案】见解析【解析】由于, 放缩不对, 故需要将底数和真数同时放大二次方,故例15:比较与的大小.【答案】见解析【解析】先换成正数,故.达标训练1.记,则,的大小关系为( )A. B.C. D.【答案】【解析】根据大指小底原理,再根据指数函数原理,故 .故选 .2.设,均大于1,且,令,则 ,的大小关系是( )A. B.C. D.【答案】【解析】因为,所以,因为 ,均大于1,所以,则,即,取对数得,所以.故选D.3.已知正实数,满足,则,满足(
7、 )A. B.C. D.【答案】【解析】根据对数等比定理可得.故选.4.设,则,三者的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】【解析】由,又 由.故选.5.正数,满足,则的值是A. B. C. D. 【答案】【解析】等式全部减1,得,则,由于,据对数等比定理可得,即.故选.6.若,则实数,的大小关系为( )A. B.C. D.【答案】【解析】由,根据性质可得 .故选B.7.已知,则,的大小关系为( )A. B.C. D.【答案】【解析】由,故故选.8.已知,则,的大小关系为( )A. B.C. D.【答案】【解析】由,故故选.9.已知,则( )A. B.C. D.【答案】【解析】设,可得函数在内单调递增,所以 ,即,化为,所以,所以 .故选B.10.已知,则( )A. B.C. D.【答案】【解析】因为,所以,即,.根据函数可得,函数在内单调递减, ,综上可得.故选D.11.若正数,满足,则等于( )A. 18 B. 36 C. 72 D. 144【答案】【解析】正数,满足,所以 ,所以,则72.故选C.12.已知函数,若存在三个不相等的正数,使得 ,则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】【解析】根据题意可知方程有三个不相等的正实根,作出函数 的图像,当时,此时,当 时,此时,根据图像可得,即的取值范围是. 故选D.
