关于积分中“不可积”问题探究提到积分， 首先要明确不定积分是用来求原函数，定积分是用来求无穷项加和，莱布尼兹公式把它们神奇的联系起来从高等数学里面，我们学习到被积函数只要连续，其必定存在原函数但是为什么会出现“不可积”的问题呢？首先我们来看几个“不可积”积分的例子222sincostan1.,tan(), (), (), sincostansin, cos, tan(cocos( sin )(,nnnnnnnxxxdxdxdxxxdxxxxxxxdxdxdxxxxx dxx dxx dxxx dx三角积分类 .菲涅尔积分类型）贝塞尔积分）222ii0s(1,3.,.E ( )1ln4., lnsin, lncos, ln tan.( )ln1lnaxbx cnaxbx caxaxntxnxxnxdxxedxx edxeexedxdxdxxdtxaxetdxxdxdtxdxxdxxdxxxxt拉普拉斯积分）2. 高斯积分类 .指数积分类型 .，其中对数积分类型 .其中L2222ln(sin ), ln(cos ), ln(tan )lnln sin, ln lncos, lnln tan,115.,1-sin,1(31-sin1nnabx dxabx dxabx dxxdxxdxxdxdxkxdxdxx dx nkxx椭圆积分类：）它们 ” 不可积 ” 主要是因为它们的原函数不能表示成初等函数的形式，现阶段只能表示成级数的形式。
现在就出现一个问题，到底它们能不能积分呢？答案是确定的，由于一些 特殊函数 以及复数的出现，使得基本所有的积分都成为了可能下面列举了几个“ 不可积 ” 积分的积分算法第一个例子是一个指数积分221121221222lnlnln1lnlnln(1)1(1)121ln(1)lnln ln(1)21( 1)lnln ln(1)21()lnln ln(1)21lnln ln(1)()2ln2xtexkkkkkxtdtttdxdtdxttdtet tttttttdttttttdtkttttktttLitxx2(1)()xxeLieC第二个例子是一个欧拉积分22222222cos2lnsinlnsinln sinsin2ln sin2(1)221()22ln(1)22(2ixixixixixixixixixixixixixixixixixixeexxdx xxxdx xxxdxeexieexxixdxeeeeeixixdxixdxxidxeeeeeiixLiexixeiLie22222222200)ln(1)2lnsinlnsincotln sin()ln(1)2lnsinln cosln 22ixixixixixxeixdx xxxxdx xxLiexxeCxdxxdx特别的 ,第三个例子狄拉克雷积分222220+200sin1sin2sincos)sin( )sinsin2sin2(2 )2sin( )sinsin+=)22xxxxxdxxddxxxxxxxxd xSixCxxxtSi xdtttxSidtdxtx（其中特别的 （）， （第四个例子是高斯积分2222()001()()21()22( ),( )1( )1( )21,()222axaxxxxedxedaxerfaxaaerfaxCaerf xedx erfc xerf xaedxerf其中特别的当从上面例子看出，虽然这些积分“ 不可积 ” ，但我们依旧可以通过一般的方法将它们表示出来，显然这样也就出现了许多特殊函数 。
从这个角度来看，基本所有的连续函数都是可积的，都可以通过初等或者特殊函数 来表示说了这么多特殊函数，下面来介绍几个简单的特殊函数2111100100111( ) ( )1.BetaB(a,b)(1)(a,b0)(1)()2.Gamma( ),0)23.( )14.zeta(s)15.eta(s)=( 1)aaba btaxxskkskxabxxdxdxxabae tdtaerf xedxkk几个简单的特殊函数函数=， 其中都函数(其中误差函数函数狄拉克雷函数11(1 2) (s)6.Polylog) Li ( )sknnkxxk多重对数函数 (其他还有一些像椭圆函数，超几何分布函数，贝塞尔函数这里不做介绍了最后留几个问题1024402202011.ln ln2.ln ln tan3.lnsin4.()sin5.sincos ln sinln cosdxxxdxxdxxdxxxxxxxdx问题的解答：1ln1002ln tan22004(21)200001 1(21)11.ln lnln *(1)ln *ln2.ln ln tan1*( 1)1( 1)ttxttxtttaaxkkxaxxxkktatkxdxt e dtCxt etxdxdtdteeexxeLet Idxdxex dxeeee t(1100011000000(1)( 1)21)(21ln1(1)ln(2 k1)(1)*(21(21ln1(1)ln(2k 1)(0) (1)*21211(1)*,214kaakkaxxaakxxkkkadtkkxxaIdxaeekkxIdxeekkCk）其中4424(1)ln(2 k 1)( 1)ln()32144( )43( )4ln ln tanln()4kCkxdx404440002240044004400403.lnsinGC=lncotln cosln sinK=lnsin2lnsin2lncosln sinln 242(ln cosln sin)ln 2ln 222lnc(a)osxtxdxxdxxdxxdxxdxtdtxdxxdxxdxxdxxdx我们知道卡特兰常数有一个定义令得到404040ln sin=ln 2 21abln sin=-ln 2+)221ln co(bs=ln 2+)22)xdxxdxCxdxC结合 ， 得到（-22222200022004.cot2cotsin2sin2ln sinsinln 2xdxx dxxxdxxxdxxdxx220022002021212025.ln sin ln cos sincos()ln sinln cos sincos2ln sin ln cos sincosln sinlncos sincos4=ln sin ln cos sincos(sin )(cos )B8(aaxxxxxdxxxxxxdxxxxxxdxxxxxdxxxxxdxxxdxa b得到令a我们知道： B(a,b)=2则有2121201220sin )(cos )lnsinlncos =B(a,b)(a)-(a+b)(b)-(a+b)(a+b)1Ba=1 b=1lnsinln cos sincos=*1,148 =(1)-(32aaxxxxdxxxxxxdxa b带入，得到（）32121202)(2)=1619211(s+1)-(s)=,(2)=(2)11(2)6nsn其中Written by Rolle 2014.12.8 。