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1、二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1. 定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数 . 2. 二次函数2axy的性质（ 1）抛物线2axy的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （ 2）函数2axy的图像与a的符号关系 . 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点. （ 3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a. 3. 二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线 . 4. 二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.
2、5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2. 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴（或重合）的直线记作hx. 特别地，y轴记作直线0 x. 7. 顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称
3、轴是直线abx2. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9. 抛物线cbxaxy2中，cba,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y
4、轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧 . （3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置 . 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0 x（y轴）（0,0 ）kaxy20 x（y轴）(0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx
5、2(abacab4422，) 11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 12. 直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). （2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2). （3）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax
6、的两个实数根 . 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根 . （ 5） 一 次 函 数0knkxy的 图 像l与 二 次 函 数02acbxaxy的 图 像G的 交 点 ， 由 方 程 组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程
7、组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . （6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121第二部分典型习题 . 抛物线 y x22x2 的顶点坐标是（ D ）A.（2， 2） B.（1， 2） C.（1， 3） D.（ 1， 3） . 已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ） ab0，c0 ab0，c 0 ab0， c0 ab0，c0 CAEFBD第 , 题图
8、第 4 题图 . 二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A a0，b 0，c0 Ba0，b 0，c0 C a0，b 0，c0 Da0，b 0，c0 . 如图，已知ABC中，BC=8 ，BC上的高h4，D为 BC上一点，EFBC/ /，交 AB于点 E，交 AC于点 F（EF不过 A、B） ，设 E到 BC的距离为x，则DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（）DO424O424O424O424AyxBC2482 ,484EFxEFxyxx . 抛物线322xxy与 x 轴分别交于A、B两点，则AB的长为 4 6. 已知二次函数11)(2k2xkxy与 x 轴交点的横坐标为
9、1x、2x（21xx） ，则对于下列结论：当x 2 时， y1；当2xx时， y0；方程011)(22xkkx有两个不相等的实数根1x、2x；11x，12x；2211 4kxxk ，其中所有正确的结论是（只需填写序号） 7. 已知直线02bbxy与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B；一抛物线的解析式为cxbxy102. （1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线bxy2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点 B作直线 BC AB交 x 轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线bxy2的解析式 . 解： （1）102xy或642xxy将0)b（ ，代入，得cb. 顶点坐标为2101
10、6100(,)24bbb， 由题意得21016100224bbbb，解得1210,6bb. （2）22xy8. 有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y，且y是 x 的二次函数， 已知输入值为2,0,1时, 相应的输出值分别为 5,3 ,4（ 1）求此二次函数的解析式；第 9 题（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象, 并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围 . 解： （1）设所求二次函数的解析式为cbxaxy2,则43005)2()2(22cbacbacba, 即1423babac , 解得321cba故所求的解析式为:322xxy. （2) 函数图象如图所示. 由图
11、象可得，当输出值y为正数时，输入值x的取值范围是1x或3x9. 某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? 第三天12 时这头骆驼的体温是多少? 兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式解：第一天中，从4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12 小时第三天12 时这头骆驼的体温是392210242161
12、2xxxy10. 已知抛物线4)334(2xaaxy与 x 轴交于 A、 B 两点，与y 轴交于点C是否存在实数a，使得ABC为直角三角形若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由解：依题意，得点C的坐标为（ 0，4） 设点 A、 B的坐标分别为（1x，0） ， （2x，0） ，由04)334(2xaax，解得31x，ax342点 A、B的坐标分别为（-3，0） ， （a34，0） |334|aAB，522OCAOAC，22OCBOBC224|34|a9891693432916|334|2222aaaaaAB，252AC，1691622aBC当222BCACAB时， ACB 90由222BC
13、ACAB，得)16916(259891622aaa解得41a当41a时，点 B的坐标为（316，0） ，96 2 52AB，252AC，94002BC于是222BCACAB当41a时， ABC为直角三角形当222BCABAC时， ABC 90由222BCABAC，得)16916()98916(2522aaa解得94a当94a时，3943434a，点 B（-3 ， 0）与点 A重合，不合题意当222ABACBC时， BAC 90由222ABACBC，得)98916(251691622aaa解得94a不合题意综合、 、 ，当41a时， ABC为直角三角形11. 已知抛物线y x2mx m 2. （
14、1）若抛物线与x 轴的两个交点A、 B分别在原点的两侧，并且AB5，试求 m的值；（2）设 C为抛物线与y 轴的交点， 若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N，并且MNC 的面积等于27，试求 m的值 .解: (1)（ x1，0）,B(x2，0) . 则 x1，x2是方程x2 mxm 20 的两根 . x1 x2m , x1 x2=m 2 0 即 m 2 ; 又 AB x1x2121245x xx x2（+ ） , m2 4m 3=0 . 解得： m=1或 m=3(舍去 ) , m的值为 1 . （2）M(a，b) ，则 N(a， b) . M 、N是抛物线上的两点, 222,2.amamb
15、amamb得：2a22m 40 . a2 m 2 . 当 m 2时，才存在满足条件中的两点M 、N. 2am . 这时 M 、 N到 y 轴的距离均为2m, 又点 C坐标为（ 0，2m ） ,而 SM N C = 27 , 212（ 2m ）2m=27 . 解得 m= 7 . 12. 已知：抛物线taxaxy42与 x 轴的一个交点为A（ 1，0） （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点， C 是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、 y 轴的距离的比为52 的点，如果点 E 在（ 2
16、）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 APE的周长最小 ?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x 2抛物线与 x 轴的一个交点为A（ 1，0） ，由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B的坐标为（3，0） N M C x y O （2）抛物线taxaxy42与 x 轴的一个交点为A（ 1， 0 ） ，0)1(4) 1(2taa t3aaaxaxy342 D （0，3a） 梯形 ABCD 中， AB CD ，且点 C在抛物线aaxaxy342上， C （ 4， 3a） AB 2，CD 4梯形 ABCD 的面积为9，9)(21ODCDAB93)42(21a a 1所求抛物线的解析式为342xxy或342axxy（3）设点 E坐标为（0 x，0y）. 依题意，00 x，00y，且2500 xy0025xy 设点 E在抛物线342xxy上，340200 xxy解方程组34,25020000 xxyxy得；，15600yx，452100yx点 E与点 A在对称轴x 2 的同侧，点 E坐标
