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1、精选优质文档-倾情为你奉上1如图甲所示， 是梯形的高， ， ， ，现将梯形沿折起如图乙所示的四棱锥，使得，点是线段上一动点.（1）证明： 和不可能垂直；（2）当时，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析; （2）.【解析】试题分析：由于折叠后，经过计算知，这样两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标（1）否定性命题，可假设，同时设（），利用向量垂直计算出，如果满足说明存在，如果不满足说明不存在；（2）由得点坐标，从而可求出平面的法向量，则向量与夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值解析：如图甲所示，因为是梯形的高，所以,因为，可得，,如图乙所示， ，所以有，
2、所以,而，所以平面,又，所以、两两垂直故以为原点，建立空间直角坐标系（如图），则，,（1）设其中，所以 ，假设和垂直，则，有，解得，这与矛盾，假设不成立，所以和不可能垂直.（2）因为，所以 ,设平面的一个法向量是，因为，所以，即,取,而，所以,所以与平面所成角的正弦值为.2如图,已知四边形为直角梯形， ,若是以为底边的等腰直角三角形，且.（1）证明： 平面；（2）求直线与平面所成的角的大小.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）要证与平面垂直，就要证与平面内两条相交直线垂直，由已知与垂直，则有与平面垂直，从而，另外在可计算出的三边长，由勾股定理逆定理可得，从而证得平面；（2）
3、由（1）知两两垂直，因此以他们为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量与直线的方向向量，由这两个向量夹角与直线与平面所成角的关系可得试题解析：证明：由已知得： ，所以，即在直角梯形ABCD中， ， ，由是以为底边的等腰直角三角形得： 由，得，可算得： 所以： ，即PC平面PAD.（2）如图建系，可得：, , , , 设平面PBC的法向量为，则有,令得： ,设直线AB与平面PBC所成的角是，所以直线AB与平面PBC所成的角是.3已知多面体中，四边形为平行四边形， 平面，且， ， ， .（）求证：平面平面；（）若直线与平面所成的角的正弦值为，求的值.【答案】（1）见解析（2）【解析】
4、试题分析：（1）先由线面垂直平面性质定理得，再利用计算，根据勾股定理得，利用线面垂直判定定理得平面.最后根据面面垂直判定定理得平面平面.（2）研究线面角，可利用空间向量进行列式求解参数，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系列式求解参数.试题解析：（）因为平面， 平面，所以.又， ，所以，所以.又，所以平面.因为平面，所以平面平面.（）以为原点， ， 所在直线为， 轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设（），则， ， ， ，设平面的一个法向量为，因为， ，所以即取，得，
5、则.又因为，设直线与平面所成的角为，则 ，解得（舍去），故.4如图，在三棱柱中， 为的中点， ， .（1）求证： 平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用直线与平面平行的判定定理进行分析推证；（2）依据题设条件建立空间直角坐标系，借助向量的有关知识与数量积公式分析求解：（1）证明：连结与相交于点，连结.为中点，又平面平面，平面.（2），又平面平面，平面，平面平面.如图，过在平面内作，垂足为平面平面，平面平面，平面以点为原点， 的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，得下列坐标：设平面的一个法向量，则，解之得又
6、，所以直线与平面所成角的正弦值为点睛：立体几何是高中数学中的传统题型，也是高考重点考查的热点与重要考点。求解本题的第一问的方法是依据题设条件运用直线与平面平行的判定定理进行分析推证；求解第二问时，则先依据题设条件建立空间直角坐标系，借助向量的坐标形式的运算等有关知识，求出法向量，再借助向量的数量积公式分析求解从而使得问题获解。5如图，已知长方形中， ， ， 为的中点.将沿折起，使得平面平面.（1）求证： ；（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.【答案】（1）（见解析2）见解析【解析】试题分析：（1）先利用平面几何知识得到线线垂直，再利用面面垂直的性质得到线面垂直，进而得
7、到线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量共线得到有关点的坐标，再利用空间向量进行求解.试题解析：（1）证明： 长方形中， ， ， 为的中点， .平面平面，平面平面， 平面平面平面ADM. （2）建立如图所示的直角坐标系设，则平面的一个法向量， ,，设平面的一个法向量,则 取，得， ， 所以，因为， 得或 经检验得满足题意，所以为的三等分点.6在三棱柱中，侧面为矩形， ， ， 是的中点， 与交于点，且平面.（）证明：平面平面；（）若， 的重心为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】() 见解析; () .【解析】试题分析：(1)利用题意首先证明： 平面，然后利用面面垂直的判断定理即可证明平
8、面平面 (2)利用题中结合体的结构特征，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系利用平面的法向量和直线的方向向量求得.试题解析：() 为矩形， ， ， 是的中点， ， ， 从而， ， ， ， ，从而 平面， 平面， ， 平面， 平面，平面平面 () 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系在矩形中，由于，所以和相似，从而又， ， ， ， ， , 为的重心， 设平面的法向量为，由可得 ，令，则， ，所以. 设直线与平面所成角，则 ，所以直线与平面所成角的正弦值为点睛：证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是
9、化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量7已知四棱锥中，底面为矩形， 底面， ， 为中点. （）在图中作出平面与的交点，并指出点所在位置（不要求给出理由）； （）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由； （）求二面角的余弦值【答案】（）见解析；（） ；（） 【解析】试题分析：（）设为中点，利用三角形中位线定理及其线面平行的判定定理可
10、得截面如图所示；（）建立空间直角坐标系，设在线段上存在一点，求出面的法向量，利用可得解；（）求出平面的法向量，求出法向量的夹角即可.试题解析：（）解：作PB的中点N，连接MN，如图，（在图中画出）因此，N为PB的中点.（）因为四棱锥中，底面为矩形， 底面，以A为坐标原点，以直线AB,AD,AP所在直线建立空间直角坐标系如图所示：则 设在线段上存在一点，则 设直线与平面所成角为，平面的法向量为， 则即令，则 则，所以所以在线段上存在中点，使得直线与平面所成角的正弦值为.（）设平面的法向量，则令，则，所以 所以所以二面角的平面角的余弦值为. 点睛：本题考查用空间向量求异面直线所成的角及直线与平面所
11、成的角，及坐标运算等知识，考查数形结合、化归转化的数学思想和方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，求线面角时由于直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值与线面角的正弦值相等，解题时易由于记忆不准把向量的夹角当成线面角导致出错，对规律性的内容要理解到位，掌握精准.8（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，（1）求证：面；（2）设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）由侧面底面，由面面垂直的性质借助于可得到面 （2）取的中,连接，,借助于（1）的结论可得直线与平面所成角为，通过求三角形的三边可求得的大小试题解析：（1）底面为矩形 侧面底面，且交线为,平面面 备注：也可以取的中点去证明。（2）由（1）可知面。平面平面底面,且交线为。取的中,连接为等边三角形平面是直线与平面所成角 9分在矩形中， 在正中， 求直线与平面所成角的大小为 考点：1线面垂直的判定与性质；2线面所成角专心-专注-专业
