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1、1 / 4 第一讲不等式解法一、含绝对值的不等式的解法不等式解集|(0)xa a|xaxa|(0)xa a|x xa或xa|,|(0)axbc axbc c把axb看成一个整体， 化成|xa，|(0)xa a型不等式来求解例题精讲 例 1解关于 x 的不等式 |x-2|4.解： |x-2|4属于 |x|0)型。 -4x-24, 不等号各端加2，得 -2x6 。不等式解集是x|-2x6 例 2解不等式 1|x-2| 7 .解： 由 1|x-2| 7,1 |2|2| 7xx由 1|x-2| 得 1x-2或 x-2-1 即 3x 或 x1 由|x- 2| 7得-7x - 27即-5 x9 3x 9
2、或 -5 x1 。不等式解集是x|3x9或 -5 x0, 方程x2-5x+6=0的解是 x1=2 x2=3 原不等式的解集是x|2 x3 例 5已知二次函数yx2pxq，当y0 时，有21x31，解关于x 的不等式qx2px102 / 4 解：由已知得x121，x231是方程x2pxq=0 的根，p=2131q=2131p61，q61，不等式qx2px10 即61x261x10 x2x6 0， 2x3. 即不等式qx2px10 的解集为x 2x3. 例 6m 是何值时 , 不等式 (m+1) x2-2(m-1)x+3(m-1) 0 (m -1) 对于任何xR 都成立 ? 分析 : 由于 m-1
3、, 由此此题化为不等式(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) 0 的解集为 R 需要满足什么条件? 这里只需使0 且 m+10即可解: m-1 且(m+1) x2-2(m-1)x+3(m-1) 0 对于任何xR 都成立 , 则只要满足=-2(m-1)2-4(m+1)3(m-1) 0 且 m+10即可解这个不等式得m 2 当 m 2 时, 不等式 (m+1) x2-2(m-1)x+3(m-1) 0 (m-1) 对于任何xR 都成立 . 三、带参数的不等式例 7解关于 x 的不等式x2+(2-a)x-2a0,其中 aR。解： 设 y=x2+(2-a)x-2a，其表示的抛物线开口向上，=(2-
4、a)2-4(-2a)=(2+a)2 0, 抛物线与 x 轴相交或相切，方程x2+(2-a)x-2a=0的两个根是 -2 或 a。下面只需确定两个根的大小关系，就可以写出不等式的解集。x2+(2-a)x-2a0 (x+2)(x-a)-2 时，原不等式解集是x|-2xa。当 a-2 时，原不等式解集是x|ax0的解集是 ( ) A. x|x5,或 x3 B. x|3x4 C. R D. 2、下列一元二次不等式中, 解集为的是 ( ) A. (x-3)(1-x)0 B. x2-2x+30 C.(x+4)(x-1)0 3、不等式 -|x-5|-15的解集是 ( ) A. x|-10 x20 B.x|x
5、20 B. C.x|x20 D. x|x-10 4、若不等式a x2+8ax+210的解集是 x|-7x-1那么 a 的值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5、不等式1|x-3|6 的解集是 ( ) A. x|-3x9 B. x|x2 或 x4 C. x|-3x4 D. x|-3x2 或 4x 9 ( 二) 填空题 : 6、 不等式x2+5x+m0的解集是 x|-7x0的解集为 x|x2, 那么不等式a x2-bx+c0的解集是 _ 8、不等式 | x2-2x-3| x2-2x-3的解集是 _ 9、不等式x2-(a+1)x+a0(a1)的解集是 _ 3 / 4 三、解下列不等
6、式10 、 （1） |x-a|2 （2）02322xx（3）0262xx（4）07422xx（5）0962xx（6）解关于 x 的不等式x2-( a +a2)x+ a30 四、解答题11 、证明对于任何实数k, 方程x2-(k+2)x+2k=0有实根12 、若不等式m x2+(2m+1)x+9m+41或 x-2 (8) x|-1xa或 x2得 x-a2或 x-aa+2 或 xa+2或 x0 当 a1 或 aa, 故原不等式解集为x|xa2或 xa 当 0a1时, 有 a2a或 xa2 当 a=0 或 a=1 时, 有 a2=a, 故原不等式解集为x|xa. （11 ）提示 : 因为=(k+2)2-42k=k2-4k+4=(k-2)20 对任何实数k 都成立 , 所以对任何实数k, 方程 x2-(k+2)x+2k=0有实根（12 ）提示 : 分类讨论当m=0 时, 原不等式变为2x+40, 显然它的解集不是R,所以 m=0 不满足条件当 m0 时, 只要满足=2(m+1)2-4m(9m+4)0 m0 即可 , 解得 m-12由知 , m-12。
