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1、学习必备欢迎下载高中数学知识梳理总汇第一部分集合与函数1、在集合运算中一定要分清代表元的含义. 举例 1已知集,2|,|2RxyyQRxxyyPx，求QP. 2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 举例 若2|,|2xxBaxxA且BA，求a的取值范围 . 3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若BA，则xA 是xB 的充分条件；若BA，则xA 是xB 的必要条件；若BA且BA即BA，则xA 是xB 的充要条件 .有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便 .充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条
2、件；注意区分： “甲是乙的充分条件（甲乙） ”与“甲的充分条件是乙（乙甲） ” ，是两种不同形式的问题. 举例 设有集合2|),(,2|),(22xyyxNyxyxM，则点MP的条件是点NP；点MP是点NP的条件. 4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假. 举例 命题： “若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是，它是（填真或假）命题. 5 、 若 函 数)(xfy的 图 像 关 于 直 线ax对 称 ， 则 有)()(xafxaf或)()2(xfxaf等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题
3、不同于函数自身的对称问题 .函数)(xfy的图像关于直线ax的对称曲线是函数)2(xafy的图像，函数)(xfy的图像关于点),(ba的对称曲线是函数)2(2xafby的图像 . 举例 1若函数) 1(xfy是偶函数，则)(xfy的图像关于对称. 举 例2若 函数)(xfy满 足对于任意的Rx有)2()2(xfxf，且 当2x时xxxf2)(，则当2x时)(xf. 6、若函数)(xfy满足：)0)()(aaxfaxf则)(xf是以a2为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数)(xfy满足：)0)()(axfaxf则)(xf是以a2为周期的函数 .（注意：若函数)(xf满足)(1)(xfa
4、xf，则)(xf也是周期函数）举例 已知函数)(xfy满足： 对于任意的Rx有)()1(xfxf成立， 且当)2,0 x时，12)(xxf，则)2006()3()2()1 (ffff. 7、奇函数对定义域内的任意x满足0)()(xfxf；偶函数对定义域内的任意x满足0)()(xfxf.注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x的恒等式而不是方程 .奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y 轴对称；若函数)(xfy是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若)(xfy是奇函数且)0(f存在，则0)0(f； 反
5、之不然 . 举例 1若函数axfx121)(是奇函数，则实数a；举例2若函数3)2()(2xbaxxf是定义在区间2, 12aa上的偶函数，则此函数的值域是. 8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数)(xfy的图像关于直线ax对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式 （即函数不等式） ”多用函数的单调性，但必须注意定义域. 举例
6、 若函数)(xfy是定义在区间3 , 3上的偶函数，且在0 ,3上单调递增，若实数a满足：)()12(2afaf，求a的取值范围 . 9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数)(xfy的图像，作出函数axfyaxfyxfyxfyxfy)(),(|,)(|),(|),(的图像 .（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注|)(|),(|xfyxfy的图像 . 举例 函数|1|12|log|)(2xxf的单调递增区间为. 10、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有
7、绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域） 等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等. 举例 1已知函数1)(,12)(axxgxxf，若不等式)()(xgxf的解集不为空集，则实数a的取值范围是. 举例 2若曲线1|2xy与直线bkxy没有公共点，则bk,应当满足的条件是. 11、曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y 轴的直线至多只有一个交点. 一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一 对应，反应在图像上平行于x轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反
8、函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？举例 函数12)(2axxxf， （4, 31 ,0 x） ，若此函数存在反函数，则实数a的取值范围是. 12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于x的）方程的过程.注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定. 举例 函数)2,(),22(log)(22xxxxf的反函数为. 13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函
9、数与反函数的图像关于直线xy对称；若函数)(xfy的定义域为A，值域为C，CbAa,则有aaffbbff)(,)(11.)()(1bfaafb.需要特别注意一些复合函数的反函数问题 .如)2( xfy反函数不是)2(1xfy. 举例1已知函数)(xfy的反函数是)(1xfy，则函数)43(21xfy的反函数的表达式是. 举例 2已知02, )(log0,2)(2xxxxfx，若3)(1af，则a . 14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解 .记住并会证明：函数)0,(
10、 ,baxbaxy的单调性 . 举例 函数)0(1)(axaxxf在), 1x上是单调增函数，求实数a的取值范围 . 15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值. 举例 求函数12)(2axxxf在区间 3, 1的最值 . 16、一元二次函数、 一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共
11、22 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）. 举例 1已知关于x的不等式5|3| ax的解集是4, 1，则实数a的值为. 举例 2解关于x的不等式：)(0122Raaxax. 第二部分不等式17、 基本不等式2)2(,2baababba要记住等号成立的条件与ba,的取值范围 . “ 一正、二定、三相等” ， “积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应
12、用. 举例 已知正数ba,满足32ba，则ba11的最小值为. 18、学会运用基本不等式：|bababa. 举例 1若关于x的不等式axx|2|1|的解集是R，则实数a的取值范围是；举例 2若关于x的不等式axx|2|1|的解集不是空集，则实数a的取值范围是. 19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：移项（化一边为零）通分转化为整式不等式化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有利用绝对值不等式的性质平方讨论.特别注意：求一个变量的范围时，若分
13、段讨论的也是这个变量，结果要“归并”. 举例 解关于x的不等式：)0(12) 1(axxa. 20、求最值的常用方法：用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；方程有解法单调性；换元法；一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数)0( , axaxy的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法） ；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数. 举例 1已知函数223)(xaxxf的最大值不大于61，又当21,41x时，81)(xf，求实数a的值 .
14、 举例 2求函数1363)(2xxxxf在区间2,2上的最大值与最小值. 21、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数),(xafy的最值 .特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数. 举例 已知不等式0224xxa对于, 1x）恒成立，求实数a的取值范围 . 第三部分三角函数22、若)2,0(，则tgsin；角的终边越“靠近”y轴时，角的正弦、正切的绝对值就较大，角的终边“靠近”x轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大. 举例 1已
15、知,0，若0|cos|sin，则的取值范围是. 举例 2方程sin xx的解的个数为个. 23、求某个角或比较两角的大小：通常是求该角的某个三角函数值（或比较两个角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载由tgtg未必有； 由同样未必有tgtg； 两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sinsin；则k2；或Zkk,2；若coscos，则Zkk,2；若tgtg，则Zkk,.
16、举例 1已知,都是第一象限的角，则“”是“sinsin”的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件. 举例 2已知0,0,，则“”是“sinsin”的 （）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件. 24、 已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由tg的值求cos,sin的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得. 举例 1已知是第二象限的角，且acos，利用a表示tg；举例 2已知),2(,0cos2cossinsin622，求)32sin(的值 . 25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：)2cos1(21cos),2cos1(21sin22xxxx；引入辅助角（特别注意3，6经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为BxAy)sin(的形式 .函数|)sin(|xAy的周
