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1、高三文科数学知识点梳理文档第一章 集合与常用逻辑用语一. 集合的概念与运算常用数集 : 自然数集 N;正整数集 N*或 N+;整数集 Z; 有理数集 Q;实数集 R. 2. 集合间的基本关系 : 1A是 B的子集 : 集合 A中的任意元素 , 都在集合 B,记为 A?B或 B?A. 2A是 B的真子集 : 若 A?B,且 AB, 则说 A 是 B的真子集 . 特殊的集合 : 空集, 规定空集是任意一个集合的子集, 是任何非空集合的真子集若 A含有 n 个元素 , 则 A的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n-1 个,A 的非空真子集合有 2n-2 。3. 集合的运算有三种 : 交集、并集、
2、补集 . 1 并集:AB=集合 A与 B的所有元素构成 , 重复的只写一次 . 2 交集:AB=集合 A与 B的相同元素构成 . 3 补集:?UA=集合 U中除掉集合 A中的元素构成二 . 命题及其关系、 充分条件与必要条件四种命题 : 原命题 : 若 P则 q; 否命题 : 若非 P则非 q, 条件和结论都要否定 ; 逆命题 : 若 q 则 p, 条件和结论交换位置 ; 逆否命题 : 若非 q 则非 p, 对原命题先逆再否 . 2. 充分条件、必要条件与充要条件1“若 p, 则 q”形式的命题为真时 , 记作 p?q,称 p 是 q的充分条件 ,q 是 p 的必要条件 . 即: 集合 A是集
3、合 B的真子集 , 那么集合 A就是集合 B的充分不必要条件, 集合 B就是集合 A的必要不充分条件 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - -2 如果既有 p?q, 又有 q?p,记作 p?q,则 p 是 q 的充要条件 ,q 也是 p 的充要条件. 即: 集合 A与集合 B的相同 ,A 就是集合 B的充要条件 . 三. 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1. 逻辑联结词是 : “或” 、 “且” 、 “非”1“或” 、 “且” 、 “非”的含义 : “或” : 只要满足一个就可以
4、 , 等同于集合中的“交”运算. “且” : 两个都要满足 , 等同于集合中的“并”运算. “非”: 它的反面 . 成立的非是不出来 , 不成立的非是成立 , 等同于“补”运算. p q pq pq 非 p 真 真真真假真 假假真假假 真假真真假 假假假真规律:p q 为真命题 , 只需 p,q 有一个为真即可 ,p q 为真命题 , 必须 p,q 同时为真 , 若 P为真, 则非 P就假, 若 P为假, 则非 P就为真 . 2. 全称量词与存在量词、全称命题与特称命题1 短语“所有的”“任意一个”这样的词语, 一般在指定的范围内都表示事物的全体 , 这样的词叫做全称量词 , 用符号“ ?”表
5、示 , 含有全称量词的命题 , 叫做全称命题 . 全称命题“对 M中任意一个 x, 有 px 成立”2 短语“存在一个”“至少有一个”这样的词语, 都是表示事物的个体或部分的词叫做存在量词 . 并用符号“?”表示. 含有存在量词的命题叫做特称命题. 特称命题“存在 M中的一个 x0, 使 px0 成立” . 3. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定对 M中任意一个 x, 有 px 成立存在 M中的一个 x0, 使 px0 不成立精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - -存在 M中的一个
6、 x0, 使 px0 成立对 M中任意一个 x, 有 px 不成立否命题、命题的否定的区别 : 否命题是条件和结论都要否定, 命题的否定只否定结论 , 但是全称命题和特称命题的否定按特殊的模式: 量词“存在和任意” 要否定和结论要否定 .p 或 q 的否定为 : 非 p 且非 q;p 且 q 的否定为非 p 或非 q 第二章函数和导数函数的性质 : 单调性 : 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x1,x2, 当x1x2时, 若 fx1fx2,则 fx 在区间 D上是减函数 . 增函数减函数2. 奇、偶函数1 如果对 D内的任意一个 x,f-x=-fx,则这个函数叫做奇函数 .
7、图象关于原点对称2如果对 D内的任意一个 x,f-x=fx,则这个函数叫做偶函数 . 图象关于 y 轴对称奇函数图象偶函数图象3. 周期性 : 于函数 y=fx, 如果存在一个非零常数T,都有 fx+T=fx. 那么就称函数 y=fx 为周期函数 , 称 T 为这个函数的周期 . 如正弦函数 . 二. 常见函数的图像和性质 : 1、特殊幂函数(1.) 一次函数 :ykx+b 解析式 ykx+b(k0) ykx+bk0 图象单调性 增函数 减函数定义域 R R 值域R R 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 25 页 - - -
8、 - - - - - -(2.) 二次函数 : 解析式图象定义域 R R 值域对称轴 直线顶点单调性 对称轴左边为减 , 右边为增对称轴左边为增 , 右边为减(3.) 反比例函数 : 解析式图象定义域值域对称性 关于原点对称单调性 为减为增2. 幂函数1幂函数的定义 : 形如 y=xR的函数称为幂函数 , 其中 x 是自变量 , 为常数. 2 幂函数的图象2. 指数函数(1) 运算公式 n=a.; 当 n 为奇数时 ,=a. 当 n 为偶数时 ,= |a|= (2). 有理数指数幂正整数指数幂 :an=a?a? n N*. 零指数幂 :a0=1a0. 负整数指数幂 :a-p=a 0,p N*.
9、 正分数指数幂:a=a0,m、n N*, 且n1.负分数指数幂 :a-=a0,m 、nN*, 且 n1. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - -0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义 . 3 有理数指数幂的性质aras=ar+sa0,r 、sQ.ars=arsa0,r 、sQ. abr=arbra0,b0,rQ. (3) 指数函数的图象与性质y=ax a1 0a0,a1.; loga1=0a0,a 1; logaa=1a0,a 1; alogaN=Na0,a1; loga
10、am=ma0,a 1. 2 对数的运算性质如果 a0且 a1,M0,N0,那么logaM?N=logaM+logaN;loga=logaM-logaN; logaMn=nlogaMnR. 将以 10 为底的对数叫常用对数 , 记为 lg N,次 e=2.718 28为底的对数叫自然对数 , 记作 ln N. 对数函数的图像与性质a1 0a0的图象 , 可由 y=fx 的图象向左 +或向右 -平移 a 个单位而得到 . 竖直平移 :y=fx bb0的图象 , 可由 y=fx 的图象向上 +或向下 -平移 b 个单位而得到 . 伸缩变换y=afxa0 的图象 , 可将 y=fx 图象上每点的纵坐标
11、伸a1 时缩 a0 的图象 , 可将 y=fx 的图象上每点的横坐标伸a1时到原来的 . 导数几何意义 : 函数 fx 在点 x0 处的导数 f x0 的几何意义是曲线y=fx 上在点x0,fx0处的切线的斜率 . 相应地 , 切线方程为 y-y0=f x0 x-x0. 2. 基本初等函数的导数公式若 fx=c, 则 f x=0; 若 fx=xnn Q,则 f x=nxn-1; 若 fx=sin x,则 f x=cos_x; 若 fx=cos x,则 f x=-sin_x; 若 fx=ax, 则 f x=axln_aa0 且 a1; 若 fx=ex, 则 f x=ex; 若 fx=logax,
12、则 f x=a0且 a1; 若 fx=ln x,则 f x=. 3. 导数的运算法则若 f x、gx 存在, 则有1fx gx =fxgx;2fx?gx=fxgx+fxg x; 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - -3=gx0. 4. 导数的应用(1)f x0?fx 在 a,b 为增函数 ;f x0?fx 在 a,b 为减函数 . (2) 求函数单调区间的步骤 : 确定函数 fx 的定义域 ; 求导数 f x; 由 f x0fx0时,fx 在相应的区间上是增函数; 当 f x0, 右侧
13、 f x0,那么 fx0 是极大值 ; 如果在 x0 附近的左侧 f x0,那么 fx0 是极小值 . 5 求可导函数极值的步骤求 f x; 求方程 f x=0 的根; 检查 f x 在方程 f x=0 的根左右值的符号 . 如果左正右负 , 那么 fx 在这个根处取得极大值 ; 如果左负右正 , 那么 fx在这个根处取得极小值 , 如果左右两侧符号一样 , 那么这个根不是极值点 . 极值的性质 : 极值点处的导数值等于0 第三章三角函数一- 任意角三角函数 : 是一个任意角 , 角的终边上任意一点Px,y, 它与原点的距离为rr0, 那么角的正弦 sin = 余弦:cos =, 正切:tan
14、 = 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - -2. 同角三角函数的基本关系1 平方关系 :sin2 +cos2=1;2 商数关系 :=tan . 3. 象限角符号 : 三角函数值在各象限的符号规律概括为: 一全正、二正弦、三正切、四余弦 . 4. 弧长公式 :l=| |r, 扇形面积公式 :S 扇形=lr=| |r2. 5. 特殊角的三角函数值 : 0 sin 01 0 cos 100 tan 01 不存在0 不存在cot 不存在 10 不存在 0 二- 三角公式1. 诱导公式 : 与有
15、关的函数名不变, 符合看象限 , 与有关的函数名要变, 符号看象限 ; 2. 诱导公式的运用 :sin cos 2=12sin cos ; 三角形中的诱导公式 :sinA+B=sin C,cosA+B=-cos C, sin=sin=cos,cos=cos=sin. 3. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1 cos- =cos_cos_+sin_ sin_ ;2 cos+=cos_cos_-sin_ sin_ ; 3 sin +=sin_ cos_+cos_sin_ ;4 sin -=sin_ cos_-cos_ sin_ ; 5 tan +=;6 tan - =. 2. 二倍角的正弦、余弦、
16、正切公式1 sin 2 =2sin cos;2 cos 2 =cos2-sin2 =2cos2-1=1-2sin2 ; 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - -3 tan 2 =. 3. 有关公式的逆用、变形等1cos2=,sin2 =; 21+sin 2 =sin +cos 2,1-sin 2=sin -cos 2, sin cos =sin. 4. 函 a,b, 为常数 , 可以化为或 , 如: 的最大值为 , 最小值为 , 周期为三. 三角函数的图象与性质1. 三角函数的图象和性质函数性质y=sin x y=cos x y=tan x 定义域 R R x|x k+,k Z 图象值域-1,1 -1,1 R 对称性 对称轴 :x=k +kZ 对称轴 :x=k kZ 无对称轴对称中心 :k ,0k Z 对称中心 :k Z 对称中心 :k Z 周期2 2 单调性 单调增区间 ,2k +kZ;单调减区间 ,2k +kZ 单调增区间 2k -,2k k Z 单调减区间 2k ,2k +
