《2022年高一数学知识点必修1-4-5-2.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高一数学知识点必修1-4-5-2.（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 高中数学必修 1 函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素， 及元素的“确定性、互异性、无序性”。CBAxyyxCxyyBxyxA、，如：集合lg|),(lg|lg|中元素各表示什么？ A表示，B表示，而 C表示2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合，Ax xxBx ax|22301若，则实数 的值构成的集合为BAa 3. 注意下列性质：的所有子集的个数是，）集合（naaa211要知道它的来历：若B为 A的子集，则对于元素a1来说，有 2 种选择（在或者不在）。同
2、样，对于元素a2, a3,an, 都有 2 种选择，所以，总共有2n种选择，即集合 A有个子集。故真子集个数为，非空真子集个数为（ ）若，；2ABABAABB（3）德摩根定律：BAUCBAUC精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - -2 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数xaxxaMMM
3、a50352的取值范围。注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数 f(x)=ax2+bx+c(a0) 在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1. 4. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 ( 两点必须同时具备 ) 5 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数xytankkxRx,2,且当以上几个方面有
4、两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - -3 条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域？如：函数的定义域是，则函数的定f xabbaF(xf xfx( )( )()0义域是 _ 。复合函数定义域的求法：已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义
5、域，可由nxgm)(解出 x 的范围，即为)(xgfy的定义域。例若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为。11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数， 其值域可通过观察得到。例 求函数 y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y=2x-2x+5，x -1 ，2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - -
6、- - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - -4 .112.22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb. y型, 先化简，再用均值不等式xmx nx1例： y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd. y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1 （x+1） （x+1） +1 1例： y（x+1）1211x1x1x14. 图像法例 求函数 y=6543xx值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有
7、界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y=11xxee，2sin11siny，2sin11cosy的值域。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y=25xlog31x（2x10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f
8、- - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - -5 挥作用。例 求函数 y=x+1x的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点 P（x.y ）在圆 x2+y2=1上，2,(2),2(,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围解:(1) 令则是一条过 (-2,0)的直线 . d为圆心到直线的距离 ,R为半径 ) (2)令y-2即也是直线 d dyxxykyk xxR dxbyxbR例求函数 y=)2
9、(2x+)8(2x的值域。例求函数 y=1362xx+ 542xx的值域9 、不等式法利用基本不等式 a+b2ab，a+b+c3abc3（a，b，cR） ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。332(0)11113333222x =xx (应用公式a+b+c时，注意使者的乘积变成常数）xxxxxxabc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -
10、 - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - -6 例：33()13()32x (3-2x)(0 x0 且 a1）-f（xy）f （x）f （y） ；f（yx） f （x）f（y）6.三角函数型的抽象函数f（x） tgx- f（xy） )()(1)()(yfxfyfxf例 1 已知函数 f （x）对任意实数 x、y 均有 f （xy）f （x）f（y） ，且当 x0 时，f(x)0 ，f( 1) 2 求 f(x) 在区间 2,1 上的值域. 分析：先证明函数f（x）在 R上是增函数（注意到f（x2）f （x2x1）x1 f （x2x1）f （x1） ） ；
11、再根据区间求其值域 . 例 2 已知函数 f （x）对任意实数 x、y 均有 f （xy）2f （x）f （y） ，且当 x0 时，f(x)2 ，f(3) 5 ，求不等式 f （a22a2）0,x N；f （ab） f （a）f（b） ，a、bN；f （2）4. 同时成立？若存在，求出 f（x）的解析式，若不存在，说明理由. 分析：先猜出 f （x）2x；再用数学归纳法证明 . 例 6 设 f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足f（xy）f （x）f （y） ，f （3）1，求：（1）f（1） ；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第
12、17 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - -18 （2）若 f （x）f（x8）2，求 x 的取值范围 . 例 7 设函数 y f （x）的反函数是 yg（x）. 如果 f（ab）f（a）f （b） ，那么 g（ab）g（a） g（b）是否正确，试说明理由. 分析：设 f（a）m ，f （b）n，则 g（m ）a，g（n）b，进而 m nf （a）f （b） f （ab）f g （m ）g（n） . 例 8 已知函数 f（x）的定义
13、域关于原点对称， 且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2）)()(1)()(1221xfxfxfxf；f （a） 1（a0，a 是定义域中的一个数） ；当 0 x2a 时，f （x）0. 试问：（1）f （x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（0，4a）上， f （x）的单调性如何？说明理由. 分析： （1）利用 f （x1x2） f （x1x2） ，判定 f （x）是奇函数；（3）先证明 f （x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数 . 对于抽象函数的解答题， 虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意 . 有些抽象函数问题，对应的
14、特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数 . 因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型， 从而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数 f （x） （x0）满足 f （xy）f （x）f （y） ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - -19 （1）求证：f （1）f （1）0；（2）求证：f （x）为偶函数；（3）若 f （x）在
15、（ 0，）上是增函数，解不等式f （x）f（x21）0. 例 10 已知函数 f （x）对一切实数 x、y 满足 f （0）0，f（xy）f （x） f （y） ，且当 x0 时，f （x）1，求证：（1）当 x0 时，0f （x）1；（2）f （x）在 xR上是减函数 . 练习题：1. 已知：f（xy）f（x）f（y）对任意实数 x、y 都成立，则（）（A）f （0）0 （B）f （0）1 （C）f （0）0 或 1 （D）以上都不对2. 若对任意实数 x、y 总有 f （xy）f（x）f（y） ，则下列各式中错误的是（）（A）f （1）0 （B）f （x1） f （x）（C）f （yx）
16、f （x）f（y）（D）f （xn）nf （x） （nN）3. 已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足：f（0）0，f（xy）f（x）f （y） ，且当 x0 时，f （x）1，则当 x0 时，f （x）的取值范围是（）（A） （1，）（B） （， 1）（C） （0，1）（D） （1，）4. 函数 f （x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - -20 f （x1x2）)()(1)()(2121xfxfxfxf，则 f （x）为（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数5. 已知不恒为零的函数f （x）对任意实数 x、y 满足 f （xy）f （xy）2f （x）f （y） ，则函数 f （x）是（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函
