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1、 基于LQR控制的一级倒立摆MATLAB仿真研究 潘俊朋+桑运晓+吕国娜+任保飞+刘树骏摘 要：本文首先通过分析单级倒立摆系统建立相应的状态空间数学模型，然后对倒立摆系统进行LQR 控制器设计，最后使用Matlab 进行仿真，结果表明在本文加权矩阵Q、R 的取值下，LQR 控制器可使系统达到有效的控制，小车位置跟着摆杆的角度动作，系统具有较短的调整时间、较小的超调量和较好的动静态性能。关键词：倒立摆 Matlab LQR 控制一、前言单级倒立摆系统是一种不稳定、多变量且具有强耦合的非线性系统。如果把它当做一个单输出系统来处理将无法到达控制要求，所以对于这样的多输出系统，我们需要用到状态空间数学
2、模型来对其进行分析。二、建立系统的状态空间数学模型为了方便而又不失精确的对单级倒立摆系统建立数学模型，实际中忽略一些次要的因素后的一级倒立摆系统简图如图1所示，系统受力分析如图2所示。定义各参数：作用在小車的外力用F表示；摆杆与垂直向上方向的夹角用表示；摆杆与垂直向下方向的夹角用表示；采样时间为T=0.005s；摆杆的质量为m=0.2kg；摆杆的惯量为I=0.006kg*m*m；摆杆转动轴心到摆杆质心的距离为l=0.3m；小车的摩擦系数为b=0.1N/m/sec；小车的质量为M=0.5kg；小车的位置用x表示。应用Newton方法来建立系统的动力学方程并经过整理后得到系统状态空间方程：三、LQ
3、R控制器设计及其Matlab仿真为了同时对小车的位置和摆杆的角度都进行有效控制，我们使用线性二次性最优控制算法（LQR）。这种控制算法在现代控制理论中占有举足轻重的地位，通过多年的研究，使最优控制算法得到越来越广泛的工程应用。LQR控制系统框图如图3所示。其中R是作用于小车的阶跃信号，四个状态量 和 分别代表小车的位移和速度、摆杆的位置和角速度。设计这个控制器的目的就是要达到以下效果：当给系统作用一个阶跃信号输入时，摆杆晃动后会重新回到垂直位置，小车会重新处于一个命令位置。通过Matlab仿真程序求出状态方程系数矩阵如下：系统是能控的是最优控制的前提条件，需要先判断系统的能控能观性：系统的能控
4、矩阵的秩：rankB AB A2B A3B=4；系统的能观矩阵的秩：rankC CA CA2 CA3=4。所以，系统是能控能观的。在使用LQR算法进行控制器设计时，主要是求得反馈向量K的值。为了使问题简化及加权矩阵具有比较明确的物理意义，将Q取为对角阵。经过实验取编写LQR的m文件，使用Matlab控制系统工具箱中的lqr函数进行运算，得到反馈控制向量：K=-70.7107 -37.8345 105.5298 20.9238。运行得到仿真曲线，即LQR控制阶跃响应曲线如图4所示。从系统阶跃响应曲线图中可以看出，在本文加权矩阵Q、R的取值下，LQR控制器可使系统达到有效的控制，小车位置跟着摆杆的角度动作，系统具有较短的调整时间、较小的超调量，符合设计要求。参考文献：1 张静. MATLAB在控制系统中的应用M.北京：电子工业出版社，2007.2 李俊芳，牛文兴，张振东.基于状态空间法的倒摆系统稳定控制J.天津理工学院学报，2003（2）：34 -36.3 王小侃，冯冬青.基于MATLAB的LQR控制器设计方法研究 -全文完-
