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1、第第2 2章章 三角形三角形2.3 2.3 等腰三角形等腰三角形 我们前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？探究 任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图. 作ABC 关于顶角平分线AD 所在直线的轴反射， 由于1=2，AB=AC，因此：D1 2ABABBAD射线AB 的像是射线AC，射线AC 的像是射线 ；线段AB 的像是线段AC，线段AC 的像是线段 ；点B 的像是点C，点C 的像是点 ；线段BC 的像是线段CB.从而等腰三角形ABC关于直线 对称.由于点D 的像是点D，因此线段DB 的像是线段 ，从而AD是底边BC上的
2、.由于射线DB的像是射线DC，射线DA的像是射线 ，因此BDA CDA= ， 从而AD是底边BC上的 .由于射线BA的像是射线CA，射线BC的像是射线 ，因此B C.DC中线DA=90高CB=结论由此得到等腰三角形的性质定理： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 等腰三角形的两底角相等( 简称“等边对等角”). 结论 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).动脑筋因为ABC是等边三角形，所以AB=BC=AC，从而C =A=B.由三角形内角和定理可得：A=B=C=60. 如图，ABC是等边三角形，那么A，B，C 的大小之间有什么关系呢？由此得到等边三
3、角形的如下性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60.结论 由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.例1 已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E 在边BC上，且AD=AE.求证：BD=CE.举例证明: 作AFBC，垂足为点F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线. BF=CF， BF-DF=CF-EF，DF=EF，即 BD=CE.F 如图的三角测平架中，AB=AC，在BC 的中点D 挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上.（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.（2）这
4、时BC处于水平位置，为什么？议一议练习1. 如图，在ABC 中，AB=AC，AD为BC 边上的高，BAC =49，BC = 4，求BAD 的度数及DC的长.答：BAD=24.5，DC=2.2.如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且APD= 80，AD=AP，求DPC的度数.答：DPC =20. 我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？探究 如图，在ABC 中，如果B=C，那么AB与AC之间有什么关系吗？我测量后发现AB与AC相等.3cm3cm事实上，如图，在ABC中，B=C. 沿过点A的直线把BAC 对折，得BAC 的平分线AD 交BC 于点D，则1
5、=2.又B=C，由三角形内角和定理得ADB=ADC.D12沿AD所在直线折叠，由于ADB=ADC，1=2，所以射线DB与射线DC 重合，射线AB与射线AC 重合.从而点B与点C 重合，于是AB=AC.结论有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).结论三个角都是60的三角形是等边三角形. 由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：例2 已知：如图，在ABC 中，AB=AC，点D，E 分别是AB，AC上的点，且DEBC. 求证：ADE为等腰三角形.举例证明 AB=AC， B=C.又 DEBC， ADE=B，AED=C. ADE=AED.于是ADE为等腰三角形. 有
6、一个角是60的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？动脑筋如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形内角和定理,得 A+B+C= 180.如果顶角A=60，那么B+C= 180-60=120.又 AB=AC， B=C. B=C =A=60. ABC是等边三角形.由此得到另一条等边三角形的判定定理：结论有一个角是60的等腰三角形是等边三角形例3 已知：如图，ABC是等边三角形，点D，E 分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE. 求证：ADE是等边三角形.举例证明 ABC是等边三角形，BAC=B=C= 60.EAD=BAC= 60，又 AD =AE，ADE是等边三角形（有一个角是60的等腰三角
7、形是等边三角形）.练习1. 已知：等腰三角形ABC的底角ABC和 ACB的平分线相交于点O. 求证：OBC为等腰三角形.ABCDEO证明ABC 和ACB 的平分线相交于点O， ABD=DBC= ，ACE=ECB= ， DBC =ECB， OBC是等腰三角形.又 ABC是等腰三角形， ABC =ACB，ABCDEO2. 已知：如图，CD平分ACB，AEDC，AE交BC的延长线于点E，且ACE= 60. 求证：ACE是等边三角形.证明: CD平分ACB， 在ACE中，CAE= 180- E -ACE =60 ,又ACE=60， BCD=E=60， ACD =DCB. ACD=DCB=60.又 AE
8、DC， CAE = ACE=E=60, ACE是等边三角形.3. 已知：如图，AB=BC ，CDE= 120， DFBA，且DF平分CDE.求证：ABC是等边三角形.证明: AB=BC，ABC是等边三角形.又CDE=120，DF平分CDE. FDC=ABC=60， ABC是等腰三角形. EDF=FDC=60.又DFBA，中考 试题例1 一个等腰三角形两边长分别是2 cm和5 cm，则这个三角形的周长为（ ） A.9 cm B.12 cm C.9 cm或12 cm D.14 cmB解析 另一边长为2 cm或5 cm，2，2，5不符合三角形三边关系定理，周长为5+5+2=12（ cm ）.中考 试
9、题例2 若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A. 50 B. 80 C. 65或50 D. 50或80解析 因为50可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选D.D谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。
