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1、数学分析一电子教案杨小康第一章 实数集与函数本章教学要求:1.加深理解实数的稠密性、绝对值不等式。一元函数的概念、分段函数的几何特性尤其是函数有界、无界的分析定义，掌握复合函数、单调函数、奇函数和偶函数；3.理解反函数、周期函数；4.对根本初等函数和初等函数要熟练掌握其运算、几何形状，对以前没有接触过的Dirichlet函数，符号函数，Gauss函数等要熟悉。5.掌握区间与邻域、掌握和应用确界概念、确界原理。 1实数教学目的：熟练掌握实数及主要性质、绝对值概念及其不等式性质。教学内容：实数的根本性质和绝对值的不等式根本要求：1掌握实数的根本性质：实数的有序性，稠密性，阿基米德性，实数的四那么运
2、算。2掌握和熟练运用几个重要的绝对值不等式。一实数及其性质：有理数：例1 设 正整数，假设不是完全平方数，那么是无理数证明：反证法。假设是有理数，那么可表示成：，从而整数可表示成： 是完全平方数，矛盾 假设规定： 那么有限十进小数都能表示成无限循环小数。例如： 记为 ；0 记为 ； 记为 实数大小的比拟定义1 给定两个非负实数其中 为非负整数，。假设有1 那么称 与 相等，记为 2 假设存在非负整数 ，使得 ，而，那么称 大于 或 小于 ，分别记为 或。对于负实数，假设按定义1有 ，那么称 或 ；规定任何非负实数大于任何负实数； 实数的有理数近似表示定义2 设 为非负实数，称有理数为实数的位缺
3、乏近似值，而有理数称为的位过剩近似值。对于负实数 的位缺乏近似值规定为：；的位过剩近似值规定为：比方 ，那么1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为 的缺乏近似值；1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 的过剩近似值。命题 设 为两个实数，那么 例2 设 为实数，证明：存在有理数 满足证明 由 存在非负整数，使得 ，取 那么 显然为有理数，且实数的一些主要性质 1 四那么运算封闭性: 例 设 为有理数，为无理数，那么是无理数。证明：反证法。假设是有理数 可表示成 ，因为有理数，也能表示成 ， 为有理数，矛盾2 有序性 : 任何两个实数 ，必满足下述三个关系之一
4、：3 实数大小有传递性，即4 Achimedes性: 5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性.6 实数集的几何表示： 数轴:例 i) ii) 证明 i) 假设 ，对任意 ，显然有 反证法。假设 ，取，那么 二. 绝对值与不等式绝对值定义： 从数轴上看的绝对值就是点 到原点的距离。a0-a 绝对值的一些主要性质 性质4三角不等式的证明：由此可推出 三. 几个重要不等式: 补充内容 (1) (2) 对 记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值)有均值不等式: 等号当且仅当时成立. 3 Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对 由二项展开式 课后反思：本节主要难点在于对
5、于有理数和无理数的统一表示，重点介绍了实数的性质，以及实数和有理数的性质区别，最后特别提出了任意小的正数。例如： ， 2 数集. 确界原理教学目的：熟练掌握区间、邻域、界、确界概念、会求数集确实界、掌握确界原理及应用教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理根本要求：1掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；2能用定义证明集合的上确界为即：有，且 使得 难 点： 上、下确界定义的理解、数集确界的证明一 区间与邻域:设与是两个实数，且，称点集 为点 的邻域，记作 称点集 为点 的去心邻域记作的右邻域 的右空心邻域 的左邻域
6、的左空心邻域 邻域 邻域 邻域 二 有界数集 . 确界原理:1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 设 S为实数R上的一个数集，假设存在一个数M L, 使得对一切 都有 ，那么称S为有上界(下界)的数集。假设集合S既有上界又有下界，那么称S为有界集。例如，区间 、为有限数、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集. 2无界数集: 假设对任意，存在 ，那么称S为无界集。 例如，有理数集等都是无界数集, 例1 证明集合 是无界数集.证明：对任意, 存在 由无界集定义，E为无界集。MM+1确界：先给出确界的直观定义：假设数集S有上界，那么显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的
7、上确界，记作 ；MM2M1上确界上界同样，有下界数集有无穷多个下界，称最大下界为该数集的下确界，记作 。 m2mm1下确界下界精确定义定义2 设S是R中的一个数集，假设数 满足以下两条：（1） 对一切 有 ，即 是数集S 的上界；（2） 对任意，存在 使得即是S的最小上界，那么称数为数集S的上确界。记作 S定义3 设S是R中的一个数集，假设数 满足以下两条：（3） 对一切 有 ，即 是数集S 的下界；（4） 对任意，存在 使得即是S的最大下界，S那么称数为数集S的下确界。记作 例2 1 那么 2 那么注1 由确界定义，假设数集S的上下确界存在，那么一定是唯一的，且 注2 由上面例子可知，数集S
8、确实界可以属于S，也可以不属于S。例3 设数集S有上确界，证明 (确界原理). 设 S 为非空数集，假设S有上界，那么S必有上确界；假设S有下界，那么S必有下确界。证明 不妨设 S包含非负数，S有上界 存在自然数 ，使得1； 2存在在 内作10等分，分点分别为： 存在自然数 使得 1 2存在 1 2存在 按上述方法无限作下去，得到实数 ，可以验证。例4 设和是非空数集. 假设对和都有 那么有 证 和都有 是的上界, 而 是的最小上界 此式又是的下界, B的最大下界例5 和为非空数集, 试证明: 证 有 或 由 和 分别是 和的下界, 有 或 即 是数集 的下界, 又的下界就是 的下界, 是 的
9、下界, 是的下界, 同理有 于是有. 综上, 有 .课后反思：本节重点介绍了确界的定义，这是本章的一个难点和重点，局部学生对此理解不是很透彻，可以采取数形结合的方法理解上界和上确界最小上界。3 函数概念教学目的：掌握函数概念和不同的表示方法教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数教学要求：1正确理解和掌握函数的定义，函数的两要素、定义域确实定方法，了解函数四那么运算,复合函数(合成、分解方法),反函数的定义.2掌握初等函数的性质,了解几个常见非初等函数比方狄利克莱函数、黎曼函数等的定义及性质.记住根本初等函数图像一 函数的定义 1. 函数的几点说明. 函数的两要素: 定义域和对
10、应法那么约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.函数的表示法: 解析法, 列表法, 图像法.分段函数 狄里克雷函数 黎曼函数 三 函数的四那么运算给定两个函数 和 ，记 ，设 ，我们定义在D上的和差积运算如下DD2D1假设在D上剔除使的值，记那么可在上定义的商运算 假设 ，那么 不能进行四那么运算。 四 复合函数: 设有两个函数 ，假设 ，那么 ， 通过函数对应D内唯一，而通过函数对应唯一EDE*f这样，都有唯一和它对应，因此确定了一个以为自变量，为因变量的函数，记作 ，称为函数的复合函数，并称 为外函数， 为内函数，为中间变量。例1 求 并求定义域.例2 那么 A. B. C
11、. D. 五 反函数 , 六 初等函数:根本初等函数:1 常函数 (C常数)2 幂函数 (为实数) 3指数函数 4对数函数 5三角函数 6反三角函数图象 课后反思: 本节主要介绍了函数的定义，是对中学数学中函数的定义的总结和延伸，特别提到了黎曼函数和狄里克雷函数，需要注意，在以后会经常用到4 具有某些特性的函数教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数教学要求：(1)通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法(2)要求用分析的方法定义函数的无界性。一、有界函数 假设函数在定义域上既有上界又有下界，那么称为上的有界函
12、数。这个定义显然等价于，对一切，恒有 有界函数的几何意义请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。例 是无界函数。证明 对任意的 ，存在 ，取 ，那么 二、单调函数 三、奇函数与偶函数1定义域关于原点对称2奇函数偶函数对任何 有 ， 两条缺一不可。奇函数yxox-x 奇、偶函数的运算性质 请看下面几个图象，答复奇偶函数的运算性质四.周期函数 例如常见的三角函数 o-2-424-211) 通常我们所说的周期总是指函数的最小周期 2) 有的周期函数不一定有最小周期 ，例如常函数是周期函数， 狄里克雷函数，它们显然没有最小周期课后反思：本节介绍了函数的性质。需要注意的是这是在实数范围内考虑的，例如对于具体函数的单调性在实数范围内就需要重新证明 13
