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1、优秀学习资料欢迎下载第九讲不等式问题（两课时）一、前测训练1、解以下不等式2xx 1（1）3x24 x40223 4 x3 2280x12（ 4） axax1022、（ 1）如对任意 xR ，都有 m2 x2 m2 x40 恒成立，就实数 m的取值范畴；（ 2）如对任意 x0 ，都有mx22 x1 0 恒成立， 就实数 m 的取值围；（ 3）如对任意1m1 ，都有mx22 x1m 恒成立，就实数 x 的取值范畴；3、（ 1）函数 y14 x1x54 x5的最大值；4（ 2）已知 x0, y0, 19xy2 ，就 xy 的最小值；4、求以下函数的值域x2521 yx42 fxxaxx1,25、求
2、以下函数的值域x22x21x11 yx2 fx2x12x12xx26、设x, y 满意约束条件x4 y3 x5 yx1325 ，就1 zx2y 的最小值为； 2 z2xy 的最大值为；3 zx22xy2 的最大值为； 4zy的最大值为；x4答案 ：1: 12 ,2 ;2,41,3,532aa24aaa24a（ 4）当 0a4 时，解集为；当 a4 时，解集 xx2a2a当 a0 时，解集为aa2x x2a4aaa24a或x2a2、 12,22,0331,23:162 84、 1 52（ 2）当 a1 时，值域为a1,a22，当 1a2 时，值域为2a ,a2 2当 2a4 时，值域为2a,a1
3、 ，当 a4 时，值域为a2,a125 、 151 ,21 ,06、 1 32 83 394222225二、方法联想1、一元二次不等式从四个方面考虑： （ 1）二次项系数为 0 和正负情形； （ 2）二次方程根是否存在情形（优先用十字相乘法求根）；（3）二次方程根的大小情形；（4）二次不等式的不等号方向分式不等式，fx10fxg x0 g xf x0fxg x0g xfxfxgx020fxfxgx00gxgx02、恒成立问题（1） 二次不等式恒成立问题gxgx0方法一：结合二次函数图象分析，方法2：分别变量法；（2） 一次不等式恒成立问题如关于 x 的不等式 fxaxb0 对任意 xm,n 上
4、恒成立，就fn0fm0如关于 x 的不等式 fx3、基本不等式求最值axb0 对任意xm,n 上恒成立，就fn0fm0利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号三个不等式关系1 a,bR, a2b22ab ，当且仅当 ab 时取等号2 a, bR, ab2ab ，当且仅当 ab 时取等号223 a, bR, ab2ab, 当且仅当 ab 时取等号22上述三个不等关系揭示了a2b2 , ab, ab 三者之间的不等关系其中当和为定值，求积最值，当积为定值，可求和最值；4、 fxxa型函数x当 a0 时， fx 在,0 , 0,为增函数当 a0 时， fx 在,a ,a ,为增，在a,0 , 0,a
5、为减留意 ：在解答题中利用函数fxxa的单调性时，需要利用导数进行证明；x5、 fxax 2bxcdxe2或（ fx）型dxeaxbxc令 dxet 进行换元，转化为6、利用线性规划区域求最值fxxa型函数问题x将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值；三、例题分析第一、其次层次公用例题例 1 设函数fxx2ax3（ 1）当 xR时， fxa 恒成立，求 a 的取值范畴（ 2）当 x2,2时， fxa 恒成立，求 a 的取值范畴（ 3 不等式 fxa 对 1a3 的一切 a 恒成立，求 x 的取值范畴解： 16a227a23 x3或x0思路 1 利用二次函数图象注：此方法可改进， 由 f
6、2a, f2a 得 7a7a，对称轴 x7 , 7，3262可少争论一种情形；思路 2 求函数的最值注：此方法可改进由f2a, f2a得 7a7，再进行分类争论，3思路 3 变量分别后，再求函数最值【教学建议】1、此题涉及到不等式恒成立问题，通常有3 种思路 fx0,xD 恒成立fx min0 转化为求函数 fx 最小值，（可能要对参数争论）选进行变量分别，再求函数最值：即利用函数图象和儿几何意义2、此题是二次不等式恒成立问题，fxa,xD 恒成立fx mina第一问是二次不等式对任意实数恒成立，可由图象法及判别式法处理，其次问是二次不等式对恒成立，所以图象法， 求最值，或变量分别后求最值均可
7、，以方法2 较优例 2 设 m, nR ，如直线mn的取值范畴m1 xn1 y22 0 与圆x12y11 相切，求解： mn,222222,思路 1：基本不等式思路 2：消元转化为求函数的值域思路 3：利用图象的几何意义【教学建议】1、此题是求二元函数的值域问题，这类问题主要有三种解题思路直接利用基本不等式，这种方法往往只有最值，消之转化为一元函数，再求最值，将两个变量看成有序数对，当作平面内动点，从图形几何意义方面，求目标函数值域2、此题 3 种方法均可，方法一只适用此题，方法二具有一般性，方法三难度较大，思维要求高，但比较直观，在小题中应用较好，其次、第三层次公用例题7 x5 y230y7
8、 的取值范畴已知 x, y 满意x7 y110且 M2,1 , P x,y ，求14 xy100x42 x2y2 的最大值，最小值，3 OM OP 最大值，4OP cosMOP 最小值解： 11 ,92 37, 1213 948 53505【教学建议】1、此题是线性规划问题，是典型问法，是需要利用向量数量积的学问，才能得到线性目标函数，2、线性规划问题，有些比较直接，主要考查截距，斜率，距离，但这几年高考显现变化，可行域条件中显现曲线，或目标函数是上述三种情形的变式，对问题转化要求比较高，但复习仍旧以基本型为主，适当进行一些变式；第一层次备用例题例 1 在 ABC 中，ABAC , D 为 A
9、C 中点，且 BD3 ，求 ABC 的面积最大值解：ABC 的面积最大值为 2思路 1: 代数法，建立目标函数，求最值思路 2: 几何法【教学建议】1、 此题是实际问题中的最值问题；这类问题通常有2 种思路， 依据图形几何意义，确定取得最值的情形，再进行运算；建立目标函数，转化为求函数的最值，2、此题采纳思路 2，建立目标函数，在表示面积时，有两种方法，一是通过两边及夹角， 二是通过底及高，因此有两种方法，3、方法一是纯代数方法，转化为二次函数的最值，运算量转大；方法二是结合图形的几何性质，由于BD 已知，点 A 要求满意 AB=2AD，所以它的轨迹是一个圆， 向题转化为轨迹上点到直线BD距离
10、最大值问题， 所以建系求轨迹方程， 运算量小，方法简洁，但思维要求高例 2 已知点M , N 的坐标满意x0,x 2 yy 06如 a1,1，求 MN a取值范畴3xy12解： MNa取值范畴7,7【教学建议】1、此题是线性规划问题，但目标函数不是常规的（截距，斜率，距离）型，需转化；2、由于 M，N 是可行域中任意两点， 所以可以利用 MNONOM ，将问题转化为 a ON与 a OM 的差的取值范畴，进一步转化为zxy 的最大值与最小值；第三层次备用例题例 1 已知函数 fx3x2a 6a xb（1） 解关于 a 的不等式 f10（2） 如不等式 fx0 的解集为（1,3 ），求实数a,
11、b的值（3） 如不等式fxb4对于 x1,2恒成立，求实数a的取值范畴解：（ 1）解集 x 3b6x3b62 a33, b932,4【教学建议】1、此题涉及解一元二次不等式，一元二次不等式的解集与相应一元二次方程根的关系，及不等式恒等问题，2、解一元二次不等式，要考虑对应方程根的有无，根的大小，对应二次函数的开口方向， 不等号方向，结合二次函数图象写出解集，己知一元二次不等式解集可知对应方程根以及二次项系数符号3、第（ 3）问是不等式恒成立问题，思路有三种 fx0,xD 恒成立fx min0 转化为求函数fx 最小值，（可能要对参数争论）选进行变量分别，再求函数最值：即利用函数图象和儿几何意义fxa,xD 恒成立fx mina此题采纳分别变量后求最值，思路清楚，便于运算， 而从二次函数图象或争论求最
