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1、学习必备欢迎下载第 2 课时分段函数导入新课思路 1.当 x1 时,fx=x+1; 当 x1时,fx=-x, 请写出函数 fx 的解析式 .这个函数的解析式有什么特点？老师指出本节课题 .思路 2.化简函数 y=|x|的解析式 ,说说此函数解析式的特点 ,老师指出本节课题 .推动新课新知探究提出问题函数 hx=x,-x x1,-1, x与 fx=x-1,gx=x-12 在解析式上有什么区分 .请举出几个分段函数的例子.活动： 同学争论沟通函数解析式的区分.所谓 “分段函数 ”习,惯上指在定义域的不同部分,有不同对应法就的函数 .并让同学结合体会来实际举例.争论结果： 函数 hx 是分段函数 ,
2、在定义域的不同部分 ,其解析式不同 .说明 :分段函数是一个函数 ,不要把它误认为是几个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集, 值域是各段值域的并集 ;生活中有许多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额 等等 .例如 :y=0, x0,等.1, x0应用示例1.画出函数 y=|x|的图象 .思路 1活动： 同学摸索函数图象的画法:化简函数的解析式为基本初等函数;利用变换法画出图象,依据肯定值的概念来化简解析式.解法一： 由肯定值的概念 ,我们有 y=x, x0,- x, x0.所以 ,函数 y=|x|的图象如图 1-2-2-10 所示 .图 1-2-2-10解法二：
3、 画函数 y=x 的图象 ,将其位于 x 轴下方的部分对称到x 轴上方 ,与函数 y=x 的图象位于 x 轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图 1-2-2-10 所示 .变式训练1. 已知函数 y=x4,xx22x,0x2,x0,x4,4.1 求 ff f5 的值 ;2 画出函数的图象 .分析 :此题主要考查分段函数及其图象 .fx 是分段函数 ,要求 ff f5 , 需要确定 f f5的取值范畴 ,为此又需确定 f5 的取值范畴 ,然后依据所在定义域代入相应的解析式 ,逐步求解 . 画出函数在各段上的图象 ,再合起来就是分段函数的图象 .解： 1 54, f5=-5+2=-3. -3
4、0, f f5 =f-3=-3+4=1.010的图象 .步骤 :画整个二次函数y=x 2 的图象 ,再取其在区间 -,0上的图象 ,其他部分删去不要;画一次函数 y=-x的图象 ,再取其在区间 0,+ 上的图象 ,其他部分删去不要 ;这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象.如图 1-2-2-12 所示 .图 1-2-2-12函数 y=fx 的图象位于 x 轴上方的部分和 y=|fx| 的图象相同 ,函数 y=fx 的图象位于 x 轴下方的部分对称到上方就是函数 y=|fx| 的图象的一部分 .利用函数 y=fx 的图象和函数 y=|fx| 的图象的这种关系 ,由函数 y=fx 的图象画出函数
5、 y=|fx| 的图象 .2.某市 “招手即停 ”公共汽车的票价按以下规章制定 :(1) 乘坐汽车 5 千米以内 含 5 千米 ,票价 2 元;(2) 5 千米以上 ,每增加 5 千米,票价增加 1 元不足 5 千米按 5 千米运算 ,假如某条线路的总里程为20 千米 ,请依据题意 ,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象 .活动：同学争论沟通题目的条件,弄清题意 .本例是一个实际问题 ,有详细的实际意义,依据实际情形公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范畴内,票价有不同的运算方法 ,故此函数是分段函数 .解： 设里程为 x 千米时 ,票价为 y 元,依据
6、题意得 x0,20 .由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:2,0x5,3,5x10,4,10x15,5,15x20.图 1-2-2-13y=依据这个函数解析式 ,可画出函数图象 ,如图 1-2-2-13 所示 .点评： 此题主要考查分段函数的实际应用,以及应用函数解决问题的才能.生活中有许多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.在列出其解析式时 , 要充分考虑实际问题的规定,依据规定来求得解析式.留意： 本例具有实际背景 ,所以解题时应考虑其实际意义;分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来 ,并分别
7、注明各部分的自变量的取值情形.变式训练 2007 上海中学高三测试,理 7 某客运公司确定客票价格的方法是: 假如行程不超过100 千米 ,票价是每千米 0.5 元,假如超过 100 千米 ,超过部分按每千米0.4 元定价 ,就客运票价y元 与行程千米数x 千米 之间的函数关系式是.分析 :依据行程是否大于100 千米来求出解析式 .答案： y=0.5x,0x100,100.4x,x100.思路 21. 已知函数 fx=x21,x1,2 x,x0,x0,x0.1 求 f-1,f f-1 ,ff f-1 的值 ;2 画出函数的图象 .活动： 此函数是分段函数,应留意在不同的自变量取值范畴内有不同
8、的对应关系.解： 1f-1=0;ff-1=f0=1;fff-1=f1=-12+21=1.2 函数图象如图 1-2-2-14 所示 :变式训练图 1-2-2-14b, ab,2007 福建厦门调研,文 10 如定义运算ab=a, a就函数fx=x 2-x 的值域是b, .分析 :由题意得 fx=答案： -,1x,x2x,x1,画函数 fx 的图象得值域是 -,1 .1.点评： 此题主要考查分段函数的解析式和图象.求分段函数的函数值时,要留意自变量在其定义域的哪一段上 ,依次代入分段函数的解析式.画分段函数 y=f1 x, xf 2 x, xD1 ,D2 , D1,D2, ,两两,.交集是空集 的
9、图象步骤是(1) 画整个函数 y=f 1 x 的图象 ,再取其在区间D1 上的图象 ,其他部分删去不要;(2) 画整个函数 y=f 2 x 的图象 ,再取其在区间D2 上的图象 ,其他部分删去不要;(3) 依次画下去 ;(4) 将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.2. 如图 1-2-2-15 所示,在梯形 ABCD 中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点 P 从 B 点开头沿着折线BC 、CD 、DA 前进至 A, 如 P 点运动的路程为 x, PAB 的面积为 y.图 1-2-2-15(1) 写出 y=fx 的解析式 ,指出函数的定义域;(2) 画出函数的图象并求出函数的值域
10、.活动： 同学之间相互争论沟通 ,老师帮忙同学审题读懂题意.第一通过画草图可以发觉,P 点运动到不同的位置 ,y 的求法是不同的如图 1-2-2-16 的阴影部分所示 .图 1-2-2-16可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的,它们的面积由其高来定,所以只要由运动里程x来求出各段的高即可 .三角形的面积公式为底乘高除以2,就 PAB 的面积的运算方式由点P所在的位置来确定 .解： 1 分类争论 :当 P 在 BC 上运动时 ,易知 B=60,就知15y=10xsin60 =3x,0 x 4.22当 P 点在 CD 上运动时 ,1y=1023 =103 ,4x 10.2当 P 在 DA 上运动时 ,1y=1014-xsin602=53 x+353 ,100,x=0,x0 段上的图象 ,合在一起得函数的图象. 1 如图 1-2-2-19 所示 ,画法略 .2f1=12=1,f-1=图 1-2-2-191=1,f f-1 =f1=1.13. 某人驱车以52 千米
