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1、第第1717章章 网络图论基础网络图论基础17.1 网络的图17.2 回路 树 割集17.3 图的矩阵表示和KCL， KVL方程的矩阵形式17.4 节点电压法17.5 含VCCS电路的节点分析17.6 割集法17.7 回路法17.9 表格法17.8 改进节点法本章重点 本章重点关联矩阵A， 基本回路矩阵B， 基本割集矩阵Q .回路，树， 割集 .矩阵形式的KCL，KVL .节点法列写电路方程 .返回目录 网络图论是数学的一个分支，是应用图论研究网络的几何结构及其基本性质的理论。研究对象 实际问题中抽象出来的线段和顶点组成的“图(graph)”。 电路中的应用 应用图论的基本概念建立便于计算机识
2、别的列写电路 方程的系统方法。17.1 网络的图一、网络图论 网络拓扑（topological graph）: 泛指线段和点之 间的连接性质。i1i2i3i1i2i3抽象 i1i2i3+-二端元件 支路 抽象 电路图 抽象图 二、网络的图 R2CLuSR1+-+-抽象 抽象 电路图 抽象图 （1）图 G=支路，节点 不含自环 允许孤立节点存在 名词 （2）子图（sub graph） 图G 子图G1 子图G2 （3） 路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动 到达另一节点所经过的支路构成路经。 （4）连通图（connected graph）：图G的任意两节点间至 少有一条路经时称图G为连通
3、图。 有向图中的方向表示原电路中支路电压和电流关联参考方向。（5）有向图（directed graph） 有向图路经 不连通 连通 返回目录17.2 回路 树 割集 一、回路（loop） （1）连通；（2）每个节点关联支路数恰好为2。 253回路 127589不是回路 回路L是连通图G的一个子图。 具有下述性质 12345678图G 树支（tree branch）：属于树的支路。 连支（link）： 属于G而不属于T的支路。二、树 （tree） 树T是连通图G的一个子图，具有下述性质： （1） 连通；（2） 包含G的所有节点； （3） 不包含回路。树不唯一 16个 树T1 树T2 图G 236
4、7树支数 bt= n-1连支数 bl = b-(n-1) 单连支回路（基本回路（fundamental loop）：每个回路中只包含一个连支，其余均为树支。1234567145树支数 4 连支数 3 单连支回路 独立回路 单连支回路 独立回路 以2，3，6，7为树支，分别加入1，4，5形成三个单连支回路三、割集（cut set） 432156（1）把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分； （2）保留Q 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。 割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质： 例闭合面与支路2，5，4，6相交 13图分成两个分离部分 4256移去支路2，5，4，6 432
5、156Q4: 1 , 2 , 5 Q3: 1, 4, 5 Q2: 2, 3 , 6 432156432156例 Q4: 1 , 5，3，6 432156单树支割集（基本割集(fundamental cut set ） 每个割集中只包含一个树支， 其余均为连支。 432156Q3: 1 , 3 ,5 , 6 Q2: 3 , 4 , 5 Q1: 2 , 3 , 6 432156432156选1，2，4为树支的基本割集 单树支割集 独立割集 单树支割集 独立割集 1，2，3，4 是否组成割集？ 三个分离部分 1，2，3，4 割集 4保留4支路，图不连通的。 1234例1 1234例2 1，2，3，4
6、 割集 基本回路 基本割集 1，2，3，4 1，4，5 1，2，6 3，4，5 2，3，6 1，5，3，6 基本回路和基本割集关系 对同一个树 （1）由某个树支bt确定的基本割集应包含那些连支，每个 这种连支构成的单连支回路中包含该树支bt 。 例 由树支4确定的基本割集包含连支3、5 ，则连支3、5 构成的单连支回路中一定包含树支4 。 4321561，2，4 树支 （2) 由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树支所构成的基本割集中含有bl 。 例 由连支6确定的单连支回路包含树支1，2 ，则由树支1，2所构成的基本割集中一定含有连支6。基本回路 基本割集 1，2，3，4
7、1，4，5 1，2，6 3，4，5 2，3，6 1，5，3，6 4321561，2，4 树支 返回目录17.3 图的矩阵表示和KCL，KVL方程的矩阵形式一、节点关联矩阵（node incidence matrix）A 用矩阵形式描述节点和支路的关联性质 aij = 1 有向支路 j 背离 i 节点 -1 有向支路 j 指向 i 节点 0 i节点与 j 支路无关关联矩阵 Aa=aijn b节点数 支路数 Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支节 1 0 0 - 1 0 1- 1 - 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 - 1 0 0 - 1 1 -1 0Aa=1234 1 2 3 4
8、5 6 支节 1-1 0 0 0-1 1 0 0 0 1-1-1 0 0 1 0 1 0-1 1 0-1 0设为参考节点，划去第4行 -1 -1 0 0 1 0A=123 1 2 3 4 5 6 支节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1称A为降阶关联矩阵(reduced incidence matrix) (n-1)b ，表征独立节点与支路的关联性质 645321按列列写 按行列写 各行不独立 支路电压 设 支路电流 节点电压矩阵形式的KCL 矩阵形式的KCL Ai =-1 -1 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1654321iiiiiiAi =
9、 0 645321矩阵形式的KVL 二、基本回路矩阵（fundamental loop matrix）B （2）支路排列顺序为先树(连)支后连(树)支。 1 支路j与回路i关联，方向一致 -1 支路j 与回路i关联，方向相反 0 支路j 不在回路 i 中 bij=约定： （1） 回路电流的参考方向取连支电流方向。 用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质 B = b i j l b基本回路数 支路数 选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。 123B =4 5 6 1 2 3 支路 回路 1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0= Bt 1 设 矩阵形式的KVL 0 1 -1 0 0
10、1BtBlBu = 0 123 654Bu = 0 可写成另一种形式 Bt ut + ul = 0ul = - Btut用树支电压表示连支电压。 连支电压 树支电压 B= Bt 1 用连支电流表示树支电流。 BT il = i矩阵形式的KCL KCL的另一种形式 123 654三、基本割集矩阵（fundamental cut set matrix）Q 约定： （1） 割集方向与树支方向相同。 （2） 支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。 qij =1 j支路与割集 i 方向一致 -1 j支路与割集 i 方向相反 0 j 支路不在割集 i 中 用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质 Q =
11、 q i j n-1 b基本割集数 支路数 Q1:1,2,4 Q2:1,2,3,5 Q3:2,3,6 设 矩阵形式的KCL Q = 4 5 6 1 2 3 支路 割集 Q1Q2Q31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 -1 1QlQtQi =0 选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。 123 654用回路矩阵表示时 用连支电流表示树支电流 矩阵形式的KCL的另一种形式 Qi =0 可写成 可见，回路矩阵和割集矩阵有 的关系。 矩阵形式的KVL 用树支电压表示连支电压。 QTut=u KVL的另一种写法 123 654QQi = 0QTut= u 小结： ul
12、= - BtutABAi = 0 BTil = i KCL KVL ATun= u Bu=0 矩阵形式的KCL，KVL 返回目录17.4 节点电压法 KCL A i =0 KVL u=Atun 元件特性方程 规定每个支路必须有一个阻抗 设标准支路(k支路）为 -k支路抽象为 k列方程 依据Yk：导纳 k支路电压、电流关系： 设 Z=diagZ1 Z2 Zb Y=diagY1 Y2 Yb Z=Y-1 -支路电流的矩阵方程 为 b条支路电压与电流关系的矩阵形式为 由KCL A i =0 由KVL u=Atun 节点导纳阵（node admittance matrix） 得节点电压方程 由此求得支路
13、电压和电流 可得 （1）画有向图。 （2） 5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-例1 列写图示电路的节点电压方程。1234560解 （4） （5） （6）得 （3） -5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-1234560例2 列写图示电路的节点电压方程。 +R5R1L2L3C4M123450Y=Z -1其中节点电压方程 （矩阵相乘由程序完成） 返回目录17.5 含VCCS电路的节点分析 第一步：先不考虑受控源，b 条支路电压、电流关系的矩阵形式为+-+-+-标准支路 设电路中只存在由阻抗元件电压控制的电流源。 e支路阻抗两端电压 k支路受控源电流 第二步：考虑受控源，只需
14、在导纳矩阵的 k行（受控支路）和 j列（控制支路）处添上控制系数 gkj（参照标准支路定正、负）。kj gkj代入 得 将上式改写为: 054132321iS5guauaG5C3G4+ -*ML2L1例 列写图示电路的节点电压方程。 其中-g节点方程 在Y阵的第3行第4列处添上 g，得到Ym 返回目录17.6 割集法 取割集（树支）电压为未知变量。 割集方程矩阵形式 Yt割集导纳阵 （cut set admittance matrix） 元件特性 -标准支路 割集法和节点法很相似。在割集法中VCCS最易处理，处理方法与节点法完全相似。 返回目录17.7 回路法 取回路电流（连支电流）为未知变量
15、。 回路方程矩阵形式 支路电压与支路电流的关系 代入上面方程，整理后得 -标准支路 Zl 回路阻抗阵(loop impedance matrix) 回路法中独立变量是电流，最易处理CCVS，处理含有互感的电路时比节点法和割集法方便 。 返回目录17.8 改进节点法 处理对象：电路中含有纯电压源或纯压控电压源支路。 iS2G2G6+ -C4G1+-G5+-C7例 电路图 12345678图G支路3、8为纯压控电压源和纯电压源支路 思路：先用直观法列节点方程，进而给出改进节点 法一般形式。 补充方程：纯电压源或纯压控电压源支路电压和节点 电压的关系式。控制量与节点电压的关系式 将以上各式写成矩阵形
16、式改进节点法的一般形式为 其中 H12 ：纯电压源（纯压控电压源）支路与节点相关联 的子矩阵。 Yn ：将电路中的纯电压源或纯压控电压源支路断开后 电路的节点导纳子矩阵。 ：为节点电压列向量 。 ：为纯电压源或纯压控电压源支路的电流列向量 。 ：注入各节点的等效电流源列向量 。 ：纯电压源支路的电压源向量。 H21：用节点电压表示纯电压源（纯压控电压源）支路 电压子矩阵。返回目录17.9 表格法 表格法是以电路中全部支路电压、支路电流和独立 节点电压为待求量求解电路的方法。举例说明 C*+-+-R*n1:n2电路图 531246有向图 支路数 b = 6，独立节点数 n = 2，待求变量共2b+n=14个。 设 支路电压向量 独立节点电压向量 支路电流向量 关联矩阵 KCL KVL 支路约束关系 写成矩阵形式 其中 将下面三式合成矩阵形式的方程即为表格法方程。 系数矩阵 在表格法中建立系数矩阵的规则很简单，相当于填写 一张表格，易于用计算机来完成，且通用性强。返回目录谢谢观看！
