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1、第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题【自主预习预习 】1.命题题的概念(1)定义义:用语语言、符号或式子表达的,可以_的陈陈述句.判断真假(2)分类类命题题 2.命题题的形式命题题的一般形式为为“若p,则则q”.其中p叫做命题题的_,q叫做命题题的_.真命题题:判断为为_的语语句;假命题题:判断为为_的语语句.真假条件结论结论【即时时小测测】1.下列语语句中,命题题的个数是()空集是任何集合的真子集;请请起立;单单位向量的模为为1;你是高二的学生吗吗?A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.是命题;是祈使句,不是命题;是疑问句,不是命题.2.命题题“二次函数最多有两个零点”中
2、的条件是,结论结论 是.【解析】命题为“若一个函数是二次函数,则它最多有两个零点”,所以条件是“一个函数是二次函数”,结论是“这个函数最多有两个零点”.答案:一个函数是二次函数这个函数最多有两个零点3.下列语语句中假命题题是.3是15的约约数;15能被5整除吗吗?x|x是正方形是x|x是平行四边边形的子集吗吗?3小于2;矩形的对对角线线相等;9的平方根是3或-3;2不是质质数;2既是自然数,也是偶数.【解析】是假命题,不是命题,是真命题.答案:【知识识探究】探究点1命题题概念的理解1.表述命题题的语语句有什么特点?提示:必须是陈述句,祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.2.语语句“x0”可以判
3、断真假吗吗?提示:由于不知道x的范围,所以无法判断真假.【归纳总结归纳总结 】命题题概念的理解表述命题题的语语句必须须是陈陈述句,并且能够够判断真假,二者缺一不可.探究点2命题题的形式1.如何确定命题题的条件和结论结论 ?提示:命题中已知的事项为条件,由已知推出的事项为结论.2.如何确定“若p,则则q”为为真?提示:能够利用公理、定理等已有知识和条件p推出结论q,则说明“若p,则q”为真.易错错警示:判断命题题的真假时时,要先判断是否为为命题题,若是命题题后再判断其真假.【归纳总结归纳总结 】对对命题题形式的理解(1)有的命题题有明确的条件p和结论结论 q,而有的命题题不明显显.(2)确定命题
4、题的条件和结论时结论时 ,最好把命题题写成“若p,则则q”的形式.特别别提醒:含变变量的语语句随变变量范围围的不同,可能是命题题也可能不是命题题,可能是真命题题也可能是假命题题.类类型一命题题的概念【典例】判断下列语语句是否是命题题,并说说明理由.(1)求证证 是无理数.(2)若xR,则则x2+4x+40.(3)你是高一的学生吗吗?(4)并非所有的人都喜欢欢苹果.(5)若xy是有理数,则则x,y都是有理数.(6)60 x+94.【解题题探究】判断一个语语句是否为为命题题的标标准是什么?提示:两个标准:一是陈述句,二是可以判断真假.【解析】(1)是祈使句,不是命题.(2)因为x2+4x+4=(x
5、+2)20,所以可以判断其真假,是命题.(3)是疑问句,不是命题.(4)因为有的人喜欢苹果,有的人不喜欢苹果.所以可以判断“并非所有的人都喜欢苹果”是真的,是命题.(5)该陈述句可以判断是假的,如 (- )是有理数,但 和- 都是无理数.所以是命题.(6)不是命题,这种含有未知数的语句,未知数的取值能否使不等式成立,无法确定.【方法技巧】判断一个语句是否是命题的三个关键点(1)一般来说,陈述句才是命题,祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.(2)该语句表述的结构可以判断真假,含义模糊不清,无法判断真假的语句不是命题.(3)对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假,若能,就是命
6、题;否则就不是命题.【拓展延伸】特殊的命题题在数学和其他科学技术领术领 域中,还还有一类陈类陈 述句也经经常出现现,如“每一个不小于6的偶数都是两个素数之和(哥德巴赫猜想)”“在2020年前,将有人登上火星”等,虽虽然目前还还不能确定这这些语语句的真假,但随着科学技术术的发发展与时间时间 的推移,总总能确定他们们的真假,人们们把这这一类类猜想仍算为为命题题.【变变式训练训练 】下列语语句中命题题的个数是()-5Z;不是实实数;大边边所对对的角大于小边边所对对的角; 是无理数.A.1B.2C.3D.4【解析】选D.都是命题.类类型二命题题真假的判断【典例】1.下列命题题中假命题题是()A.若lo
7、g2x2,则则0 xb,则则2a2b;命题题“若a,b是无理数,则则a+b是无理数”是真命题题;直线线x= 是函数y=sinx的一条对对称轴轴;在ABC中,若 0,则则ABC是钝钝角三角形.其中为为真命题题的是_.【解题题探究】1.如何快速地判断一个命题为题为 假命题题?提示:只需举出一个反例.2.如何判断一个命题为题为 真命题题?提示:需要严格推证.【解析】1.选B.选项A中,y=log2x为增函数,由log2x2,得0 xb时,2a2b;当a= ,b=- 时,a+b=0为有理数,故为假命题;函数y=sinx的对称轴为x=2k+ (kZ),显然当k=0时对称轴为x= ,是真命题;因为 =|
8、| |cos(-B)0,所以cosB0,所以B为钝角,故为真命题.答案:【延伸探究】1.典例2中命题题变为变为 :若 0,则则ABC是锐锐角三角形还还是真命题吗题吗 ?【解析】不是真命题, 1时时,函数y=ax是增函数.【解题题探究】1.典例1中命题题的p与q分别对应别对应 命题题中的什么内容?提示:p对应“一条直线是弦的垂直平分线”,q对应“这条直线经过圆心且平分弦所对的弧”.2.(1)命题题中的已知是什么?得出了什么结论结论 ?提示:已知两个三角形相似,得出的结论是它们的对应角相等.(2)“当a1时时”在命题题中有什么作用?提示:是得出“函数y=ax是增函数”的前提条件.【解析】1.已知命
9、题可改写为“若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧”.所以p是:“一条直线是弦的垂直平分线”,q是:“这条直线经过圆心且平分弦所对的弧”.答案:一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧2.(1)若两个三角形相似,则它们的对应角相等.条件p:三角形相似,结论q:对应角相等.(2)若a1,则函数y=ax是增函数.条件p:a1,结论q:函数y=ax是增函数.【方法技巧】1.将命题题改写为为“若p,则则q”形式的方法及原则则2.命题题改写中的注意点若命题题不是以“若p,则则q”这这种形式给给出时时,首先要确定这这个命题题的条件p和结论结论 q,进进而改写成“若p
10、,则则q”的形式.【变变式训练训练 】命题题“平行四边边形的对对角线线既互相平分,也互相垂直”的条件是_,结论结论 是_.【解析】条件是“一个四边形是平行四边形”,结论是“这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”.答案:一个四边形是平行四边形这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直【补偿训练补偿训练 】把下列命题题写成“若p,则则q”的形式,并判断其真假.(1)等腰三角形的两个底角相等.(2)当x=2或x=4时时,x2-6x+8=0.(3)正方形既是矩形又是菱形.(4)方程x2-x+1=0有两个实实数根.【解析】(1)若一个三角形是等腰三角形,则两个底角相等,为真命题.(2)若x=2或x=4
11、,则x2-6x+8=0,为真命题.(3)若一个四边形是正方形,则它既是矩形,又是菱形,为真命题.(4)若一个方程为x2-x+1=0,则这个方程有两个实数根,为假命题.自我纠错纠错 命题题的改写【典例】将命题题“已知c0,当ab时时,acbc.”改写为为“若p,则则q”的形式为为_.【失误误案例】分析解题过题过 程,找出错误错误 之处处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是将c0作为已知条件,实际上“已知c0”是大前提,条件应是“ab”,不能把它们全认为是条件.正确解答过程如下:【解析】由题意知命题中c0是大前提,所以该命题中的条件是ab,结论是acbc.所以“若p,则q”形式为“已知c0,若ab,则acbc”.答案:已知c0,若ab,则acbc
