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1、基于Copula一VaR金融资产组合风险测度探究摘要：在实践中，金融资产组合中各资产收益率 的相依关系是一种非线性关系，但是，目前最常用的金融资 产组合风险测度方法一一VaR方法，却由于自身的缺陷无法 准确拟合这种金融资产组合收益的联合分布，而Copula函 数恰好能很好地解决这一问题。因此，本文引入Copula函 数来改进传统的VaR方法，构建出Copula-VaR模型。并通 过蒙特卡罗模拟实证金融资产组合收益的各种VaR值，实证 结果表明，Copula-VaR模型能够更精确地测度出金融资产组 合的在险价值风险。关键词:VaR方法；Copula函数；Copula-VaR模型金融资产组合风险测
2、度是指度量由于金融市场因子的 变化而引起的金融资产（投资组合）价值变化的大小。传统 的金融资产组合风险的测度方法包括均值-方差方法、名义 交易量法、灵敏性方法与波动性方法。在传统方法中，用方 差来衡量组合风险，只是考虑未来潜在的收益与损失的不确 定性，却无法确切测度出潜在的损失金额，无法满足金融实 践中对于资产组合损失风险度量的要求。因此，在金融实务 界，提出了一种能全面测度金融资产组合风险的方法 VaR方法1。该方法不仅能够用来作为金融机构评估和 管理个别资产或资产组合风险的工具，而且还能用来作为金 融监管部门评估金融市场风险和监管金融机构的重要手段。VaR (Value at Risk)是
3、指在市场正常的情况下，在一 定置信水平下和一定期间内，某一金融工具或投资组合在未 来资产价格波动下所面临的最大潜在损失值。VaR方法的最 大优势在于它直观易懂的概念，即VaR推导出的资产风险就 是在给定概率下与损失相关的一个数值2。VaR方法简单明 了的定义对于单个金融资产的风险测度问题给出了很好的 解决模型，但是，对于金融资产投资组合风险测度，存在一 个关键问题就是如何来刻画金融资产组合收益的联合分布。 而大量的实证研究结果表明，金融资产时间序列数据具有 “尖峰厚尾”的特征。VaR方法由于自身缺乏次可加性，无 法将不服从正态分布的单个金融资产收益率通过线性关系 拟合成金融资产组合收益的联合分
4、布3。因此，有必要寻 找和引进一种更好的相关性分析方法来弥补VaR方法统计假 设的不足，从结构上更好地拟合金融资产随机变量的联合分 布。1959 年，Sklar (1959)以Copula” 命名一类函数, Copula函数的特点是能够把一维边缘分布函数连接在一起， 形成联合分布函数4。Embrechts et al. (1999, 2002) 首先把Copula函数引入到资产组合的金融风险管理中5, 6 o Copula函数应用于金融资产组合的风险测度中具有两个 优势，一是可以刻画单个金融资产收益率分布的“尖峰厚 尾”特征；二是可以描述不同金融资产组合收益率之间复杂 的相互关系，即Copul
5、a函数能够把具有非正态性质、具有 相互关联的多个风险因子“连接”起来，构建出一个由多个 风险因子驱动的金融资产组合收益率的联合分布，并结合 VaR方法测度金融资产组合风险，从而大大提高VaR方法测 度金融资产风险的准确性。基于此，本文将借助Copula理 论改进VaR方法，构建Copula-VaR模型，并通过蒙特卡罗 模拟实证金融资产组合收益的各种VaR值，通过实证结果说 明Copula-VaR模型在金融资产组合风险测度中具有更为优 越的统计特性。一、Copula函数的定义和性质Copula函数的概念最早是由Sklar于1959年提出的 4,他指出多个随机变量的边缘分布可以通过Copula函数
6、 “连接成联合分布。因此Copula函数也称为“连接函 数”。Nelsen (1999)给出了 Copula函数的一个一般性定义: 定义：d维Copula函数C是指具有以下性质的一类多元 函数：(1)(2) C对它的每个变量都是单调递增的；(3) 且。其中。显然，从以上定义可以看到若有d维随机向量，其联 合分布是，边缘分布分别是，C是随机向量的Copula函数。 那么根据上述定义，d维随机向量的联合分布可以通过 Copula函数写成下式：那么，现在的问题就在于对于每一个联合分布函数，是 否都存在唯一的一个Copula函数能将其表示为(1)呢？下 面的Sklar定理将回答这个问题。定理：考虑一个
7、具有边缘分布 的d维联合分布函数F, 若其边缘分布都是连续的，则唯一存在一个Copula函数C, 使得成立。若不满足连续性条件，那么这样的Copula函数 仍然存在，只是不能保证唯一性。然而在的值域上Copula 函数依然唯一确定。关于这个定理的证明可以参见Nelsen (2006)。根据上述定理，我们同样可以根据随机变量的边 缘分布和联合分布反过来求出Copula函数：其中是的广义逆，。这样，对于多个随机变量的联合分布，我们就可以将其 分解为Copula函数和多个边缘分布函数来考虑。从而解决 了由随机向量边缘分布难以推导出联合分布的难题，为多元 统计分析提供了一种崭新的思路。此外，从Copu
8、la的定义 中可以看到在使用Copula函数确定随机向量的联合分布时 可以灵活地选择其边缘分布及Copula函数的形式，由Copula 函数导出的一致性和相关性测度对于严格单调增的变换都 不会变化。二、引入Copula理论对VaR方法的修正：构建 Copul a-VaR 模型根据Jorion (1996),我们可以将VaR定义为1：式中为资产组合的预期价值；为资产组合的期末价 值；为置信水平下的投资组合的最低期末价值。式中为持有期初资产组合价值，R为设定持有期内(通 常一年)资产组合的收益率。R*为资产组合在置信水平下 的最低收益率。根据数学期望值的基本性质，将式(5)、式(6)代入 式(4)
9、,有：上式(7)即为该资产组合的VaR值，根据式(7),如果能求出置信水平下的R*,即可求出该资 产组合的VaR值。依据RiskMetrics方法(Tsay2002) m种资产组成的投 资组合的为:为资产i与j之间的线性相关系数。可以看出，这里并 没有考虑资产间的非线性相关模式的影响。根据上节的Copula理论我们可知，Copula函数恰好能 够克服了上述传统VaR方法的不足。Copula函数是将连续的 联合分布函数通过其各自的边缘分布表示出来的一种函数， 即存在Copula函数C,使得 成立。这样一来，联合分布函 数就可以拆分成表示其单个变量的边缘分布与表示变量间 相关结构的Copula函数
10、两部分，也可以说，Copula函数相 当于是边缘分布在(0, 1)区间服从均匀分布的联合分布。 因此，通过Copula函数，我们可以将风险分解成两部分： 单个金融资产风险和由金融资产组合产生的风险。其中，单 个金融资产的风险可以完全由它们各自的边缘分布来描述， 而由金融资产组合产生的风险则完全由连接它们的Copula 函数来描述。基于这一理念，我们可以构建基于Copula理 论改进的Copula-VaR模型，如下：(1)运用 CML 方法估计Gaussian Copula及多元 t-Copula 函数的参数，首先将初始的R数据的每一列用经验分布函 数转化为均匀分布，其中，是R的数据集合；再将逆
11、高 斯累加分布函数作用于这些均匀分布的数据组成的矩阵，得到新数据矩阵,其中,i=l-4284, j=l-5是标准正态分布函数，最后求这个数据矩阵V的相关系 数矩阵。(2)运用蒙特卡罗模拟法计算金融资产组合的 Copula-VaRo其步骤为：第一步，对相关系数矩阵做Cholesky分解，其中A为下三角矩阵；第二步，产生n个独立的标准正态分布随机向量；第三步，产生n个随机向量；第四步，i=l,，n；则为此高斯连接函数的一个 抽样向量；第五步，,i=l, n；则为由各风险资产的收益率 组成一个抽样向量；此处运用逆正态分布函数，是因为边际 分布被假设为正态分布。根据相应的边缘分布函数的逆函数，确定各分
12、量的模 拟值。视具体情况，重复以上步骤以产生足够多的抽样向量, 一般取10000个，根据上述模拟算法可以生成5000个可能 的组合价值，时刻t+1组合在每种情形下的价值是：相应的组合在每种情形下的损失是：给定置信水平,容易求出投资组合的Copula-VaRo三、实证研究1数据选取与处理说明：为了测度金融资产组合风险，本研究选取XX证券公司 自营业务投资中构建的一个投资组合作为研究对象，该投资 组合由山煤国际(600546)、浦发银行(600000)、中金黄金 (600489)、东方航空(600115)、中国平安(601318)、农 产品(000061)、威孚高科(000581)、中国联通(60
13、0050) 8只股票构成,分别用XI, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8表示。将股票价格定义为股票每日的收盘价Pt,样本的时间区 间为2009年1月1日-2011年3月15日。数据来源于国泰君安大智慧V5. 45版。为了得到较为准确的收益率序列，本文还对数据作了如下处理：(1)运用国泰君安大智慧V5.45版对每日收盘价进行向前复权处理，因为未经复权处理的收盘价格可能会导致股价收益率的异常波动;(2)投资组合内8只股票所代表的上市公司在2009年1月1日至2011年3 月15日的样本时间段内分别有不等的停盘时间，不对称的 数据样本将导致研究无法进行，因此，在尽可能不影响股价
14、收益率波动的条件下，本文假定停盘当日的收盘价等于该股 前一日的收盘价。(3)本文采用连续复利收益率公式计算日 收益率。2实证结果与分析：首先，金融市场风险分布曲线在很大程度上不具有对称性，金融时间序列的分布多呈现时变、偏斜、尖峰、厚尾等 特性，使用正态分布来表征单个金融资产收益率的分布并不 一定合理。因此，论文首先对数据进行基本统计信息进行分 析，表1列出了 8只股票收益率的描述性统计。从表1我们可知，第一，在样本观察期间内，投资组合 内8只股票的平均收益均为正；第二，从偏度统计值来看， 浦发银行、中金黄金、东方航空、农产品、威孚高科5支股 票的收益偏度统计值为负，其中，中金黄金和农产品的偏度
15、 统计值超过3,这意味着它们的收益存在着巨幅下跌的可能; 第三，股票收益率的峰度统计值都显著大于0,这表明各支 股票的收益分布具有比正态分布更厚的尾部特征。第四，从 服从x2分布的Jarque-Bera检验统计量我们可知，各支股 票的J-B检验值都远远大于临界值5. 8825,这一结论拒绝了 收益序列服从正态分布的假定，说明各支股票的收益率都不 服从正态分布；第四，由Q (20)和Q2 (20)统计值我们可 知，这8支股票都具有条件异方差性；第五，由D-W统计量 可知，所有的D-W值都接近2,这说明这8支股票收益率序 列的自相关性极弱，因此，它们的收益率序列的均值方程可 以不考虑自回归项。从上
16、面的描述性统计结果，我们发现，样本投资组合中 8只股票的收益率存在较明显的尖峰厚尾特征，收益序列不 服从正态分布。由于EGARCH模型能很好的描述金融时间序 列的非正态波动特性，因此本文选取EGARCH (1,1)模型来 表征该投资组合风险的边缘分布。我们将数据代入EGARCH 模型，用Eviews求出了模型估计结果如表2。进一步，我们选取 t-Copula、Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula四种连接函数，根据他们不同的计 算规则，分别求出其对数极大似然函数(如表4所示)，并 比较它们的拟合效果，来挑选最优Copula模型。从表4中，我们发现，样本投资组合的t-Copula的AIC值要 显著 地小于 Gumbel Copula、Clayton C
