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1、函数复习主要知识点一、函数的概念与表示1 、映射（1）映射：设 A、B 是两个集合，如果按照某种映射法则 f ，对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应， 则这样的对应 （包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集合 B的映射，记作 f ：AB。注意点：（1）对映射定义的理解。 （2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是 （ ）x 1A、 f (x) lg x2 , g (x) 2 lg x B 、 ,
2、 ( ) lg( 1) lg( 1)f (x) lg g x x xx 1C、f1 u 1 v(u) , g(v) D 、f （x）=x，1 u 1 vf (x) x22、 M x |0 x 2, N y |0 y 3 给出下列四个图形，其中能表示从集合 M到集合 N 的函数关系的有 （ ）A、 0 个 B 、 1 个 C 、 2 个 D 、3个y y y y32 2 2 21 1 1 1OO O O1 2 1 2 1 2 1 2x x x x二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必
3、须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1；6. （05 江苏卷）函数2y log (4x 3x) 的定义域为0.52 求函数定义域的两个难点问题（1） 已知f ( x)的定义域是 -2,5, 求f(2x+3) 的定义域。（2） 已知f (2 x1)的定义域是 -1,3, 求f( x) 的定义域专心 爱心 用心 1例 2设f (x) lg22xx x 2，则f ( ) f ( ) 2 x的定义域为_变式练习：2f (2 x) 4 x ，求 f ( x) 的定义域。三、函数的值域1 求函数值域的方法直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x) 的取值范围，适合于简单的
4、复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且 x R的分式；分离常数：适合分子分母皆为一次式（ x 有范围限制时要画图） ；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1（直接法）y12x 2x 322f (x) 2 24 2x x3（换元法） y x 2x 14. （ 法）yx3x242x 15. y2x 16. ( 分离常数法 ) xy x 13x 1y ( 2 x 4) 2x 1
5、专心爱心 用心 27. (单调性 )3y x (x 1,3) 2x8. y1x 1 x 1， y x 1 x 1 (结合分子 / 分母有理化的数学方法 )9 (图象法 )2y 3 2x x ( 1 x 2)10(对号函数 )8y 2x (x 4)x11. ( 几何意义) y x 2 x 1四 函数的奇偶性1定义:设y=f(x) ，xA，如果对于任意 x A，都有 f ( x) f (x) ，则称 y=f(x)为偶函数。如果对于任意 x A，都有 f ( x) f (x) ，则称 y=f(x)为奇函数。2. 性质：y=f(x) 是偶函数 y=f(x) 的图象关于 y轴对称 , y=f(x) 是奇
6、函数 y=f(x) 的图象关于原点对称 ,若函数 f(x) 的定义域关于原点对称，则f(0)=0奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇 两函数的定义域 D1 ，D2，D1D2要关于原点对称3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称 看 f(x) 与 f(-x) 的关系1 已 知 函 数 f ( x) 是 定义在 ( , ) 上 的 偶 函 数 . 当 x ( , 0)时，4f ( x) x x ，则当x (0, )时， f (x) .专心爱心 用心 32 已知定义域为 R的函数f (x)x2x21ba是奇函数。（）求 a,b 的值；（）若对任意的 t R ，不等式2 2f (t 2t)
7、f (2t k) 0恒成立，求 k 的取值范围；x y3 已知 f (x) 在（ 1，1）上有定义，且满足 ), x, y ( 1,1)有f ( x) f ( y) f (1 xy证明： f (x) 在（ 1，1）上为奇函数；4 若奇函数 f (x)( x R)满足 f (2) 1， f (x 2) f (x) f (2) ，则 f (5) _五、函数的单调性1、函数单调性的定义：2 设 y f g x 是定义在 M上的函数， 若 f(x) 与 g(x) 的单调性相反， 则 y f g x 在 M上是减函数； 若 f(x)与 g(x) 的单调性相同，则 y f g x 在 M上是增函数。1 判
8、断函数 f ( x) x3 (x R) 的单调性。专心 爱心 用心 42 例 函数 f (x) 对任意的 m, n R，都有 f (m n) f (m) f (n) 1，并且当 x 0时， f (x) 1，求证： f (x) 在 R上是增函数；2 a若 f (3) 4 ，解不等式 ( 5) 2f a23 函数 y log 0 (6 x 2x ) 的单调增区间是 _.14( 高考真题 ) 已知f (x)( 3a 1)x 4a, x 1loga x, x 1是 ( , ) 上的减函数，那么 a 的取值范围是（ ）（A）(0,1) （B）1(0, )3（C）1 1 , )7 3（D）1 ,1)7六函
9、数的周期性：1（定义 ）若 f (x T ) f (x)( T 0) f ( x) 是周期函数， T 是它的一个周期。说明： nT 也是 f (x) 的周期（推广 ）若 f (x a) f ( x b) ，则 f (x) 是周期函数， b a是它的一个周期对照记忆f (x a) f (x a) 说明：f (a x) f (a x) 说明：2若 f (x a) f (x)；1f (x a) ；f (x)1f (x a) ；则 f (x) 周期是 2 af (x)1 已知定义在 R上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x+2) =f ( x), 则,f (6) 的值为(A) 1 (B) 0 (C
10、) 1 (D)22 定 义在 R 上的 偶函数 f (x) ， 满足 f (2 x) f (2 x) ， 在区间 -2,0 上单调 递减， 设a f b f c f ，则 a,b,c的大小顺序为 _( 1.5), ( 2), (5)专心 爱心 用心 51 f (x)3 已知 f ( x) 是定义在实数集上的函数，且 , (1) 2 3, f (x 2) 若f 则1 f (x)f (2005)= .4 已 知 f ( x) 是 (- ， ) 上 的奇 函 数， f (2 x) f (x) ， 当 0 x 1 时 ， f(x)=x ， 则f(7.5)=_例 11 设 f (x) 是定义在 R 上的
11、奇函数，且对任意实数 x 恒满足 f (2 x) f (x) ，当 x 0,2 时f2(x) 2x x求证： f (x) 是周期函数；当 x 2,4 时，求 f (x) 的解析式；计算：七、反函数1. 只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤 （1）解 (2) 换 (3) 写定义域。3、关于反函数的性质（1）y=f(x) 和 y=f-1 (x) 的图象关于直线 y=x 对称；（2）y=f(x) 和 y=f-1 (x) 具有相同的单调性；（3）已知 y=f(x) ，求 f-1(a) ，可利用 f(x)=a ，从中求出 x，即是 f-1(a) ；
12、（4）f-1 f(x)=x;（5）若点 (a,b) 在 y=f(x) 的图象上，则 (b,a) 在 y=f-1 (x) 的图象上；（6）y=f(x) 的图象与其反函数 y=f-1 (x) 的图象的交点一定在直线 y=x 上;1 设函数 y f (x) 的反函数为像必过y f x ，且 y f (2 x 1) 的图像过点 1( )1( )1( ,1)2，则y f x 的图 1 ( )1 ( )（A）1( ,1)2（B）1(1, )2（C）(1,0) （D）(0,1)专心 爱心 用心 6八二次函数 ( 涉及二次函数问题必画图分析 )1二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0) 的图象是一条抛物
13、线，对称轴x2ba2b 4 ac b，顶点坐标 )( ,2 a 4 a2二次函数与一元二次方程关系2 bx c a一元二次方程 0( 0)ax 的根为二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0) y 0的 x 的取值。2 bx c 一元二次不等式 0( 0)ax 的解集 (a0)二次函数 情况 一元二次不等式解集Y=ax 2+bx+c (a0) =b2-4ac2+bx+c (a0) =b2-4acax 2+bx+c02+bx+c0(a0)ax 2+bx+c02+bx+c0)0 x x x1或x x2 x x1 x x2图象与=0 x x x0解0 R2 mx1、已知函数 ( ) 4 5f x x 在区间 2, ) 上是增函数，则 f (1) 的范围是（ ）（A） f (1) 25 (B) f (1 ) 25 (C) f ( 1) 25 (D) f ( 1) 252、方程 mx2 2mx 1 0 有一根大于 1，另一根小于 1，则实根 m的取值范围是 _九指数式与对数式1幂的有关概念0 a
