2022年华杯赛经典教案--带余除法

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1、学习必备欢迎下载学生姓名年级 小六授课时间教师姓名课时课题带余除法教学目标1、 掌握带余除法的定义；2、 掌握三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），3、 重点理解和掌握中国剩余定理的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想重点掌握三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理）难点掌握中国剩余定理的相关问题【前次课提要】整数与整除：【知识点梳理】一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a 是整数， b 是整数（ b 0） ,若有 a b=q r，也就是ab qr, 0 rb；这里：(1)当0r时：我们称a 可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或完全商(2

2、)当0r时：我们称a 不可以被b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或不完全商二、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。2.余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。3.同余定理若两个整数a、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为： a b ( mod m ) ，若两个数a

3、，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a， b 的差一定能被m 整除用式子表示为：如果有a b ( mod m ) ，那么一定有abmk,k 是整数，即m|(a b) 三、中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）：作业【例题讲解】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载题型： 带余除法的定义和性质例题： ( 第五届小学数学报竞赛决赛) 用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是 r ，求a 和 r 【解 析】因为1992是 a 的46倍还多

4、 r ,得到19924643.14，得1992464314，所以43a，14r例题： (2003年全国小学数学奥林匹克试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解 析】被 除数除数商余数被除数除数 +17+13=2113，所以被除数除数=2083 ， 由于被除数是除数的17 倍还多 13， 则由“和倍问题”可得： 除数 = （2083-13 ）（ 17+1 ） =115 ，所以被除数=2083-115=1968例题： (2000 年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题) 三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以 19,23,31所

5、得的商相同， 所得的余数也相同， 这三个数是 _， _， _。【解 析】设所得的商为a， 除数为b(19)(23)(31)2001ababab，7332001ab，由19b， 可 求 得27a，10b 所 以 ， 这 三 个 数 分 别 是19523ab，23631ab，31847ab。例题： (1997 年我爱数学少年数学夏令营试题) 有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5 人如果把书全部分给第一组，那么每人4 本，有剩余；每人5 本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人3 本，有剩余；每人4 本，书不够问：第二组有多少人?【解 析】由48412，4859.6知， 一组是 1

6、0 或 11 人同理可知48316，48412知，二组是13、14 或 15 人，因为二组比一组多5 人，所以二组只能是15 人，一组 10 人题型： 三大余数定理的应用例题：有一个大于1 的两位整数，除45,59,101 所得的余数相同，求这个数. 【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同， 根据同余定理， 我们可以得到： 这个数一定能整除这三个数中的任意两数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载的差，也就是说它是任意两数

7、差的公约数101 4556，594514， (56,14)14 ，14的约数有 1,2,7,14 ，所以这个数可能为2,7,14 。例题：两位自然数ab与ba除以 7 都余 1，并且ab，求 abba 【解析】 abba 能被 7 整除，即 (10)10)9abbaab（） 能被 7 整除所以只能有7ab，那么ab可能为 92 和 81 ，验算可得当92ab时，29 ba满足题目要求，92292668abba【巩 固】学校新买来118 个乒乓球， 67 个乒乓球拍和33 个乒乓球网， 如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？【解析】 所求班级数是除以1

8、18,67,33 余数相同的数那么可知该数应该为1186751和673334的公约数，所求答案为17【巩 固】( 2000 年全国小学数学奥林匹克试题) 在除 13511， 13903 及 14589 时能剩下相同余数的最大整数是_【解析】 因为3921351113903, 6861390314589，由于 13511 ，13903 ，14589 要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除98)686,392(，所以所求的最大整数是98【巩 固】( 20XX年南京市少年数学智力冬令营试题) 在 1995，1998，2000，2001，2003 中，若其中几个数的和被9 除

9、余7，则将这几个数归为一组这样的数组共有_组【解析】 1995 ，1998 ，2000 ，2001 ，2003 除以 9 的余数依次是6，0，2， 3，5因为252507，25360253679，所以这样的数组共有下面4 个：2003,2000，2003,2000,1998，1995,2001,2003,2000，1995,2001,2003,2000,1998精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例题： (20XX 年小学生数学报数学邀请赛试题) 六名小学生分别带着14

10、 元、 17 元、 18元、 21 元、 26 元、 37 元钱，一起到新华书店购买成语大词典一看定价才发现有5 个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3 人的钱凑在一起恰好可买2 本，丁、戊2 人的钱凑在一起恰好可买1 本这种成语大词典的定价是_元【解析】 六名小学生共带钱133 元133 除以 3 余 1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买 3 本， 所以他们五人带的钱数是3 的倍数，另一人带的钱除以3 余 1易知， 这个 钱 数 只 能 是37元 ， 所 以 每 本 成 语 大 词 典 的 定 价 是( 1 41 71 82 12 6(元) 【巩 固】( 2000 年全国小学数学奥林匹克试题

11、) 商店里有六箱货物，分别重 15，16，18，19，20，31 千克，两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_千克【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数(151618192031)(12)119339.2 ，剩下的一箱货物重量除以3 应当余 2，只能是20 千克【巩 固】( 华罗庚金杯赛模拟试题) 求478296 351除以 17 的余数【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以17 的余数，再求余数之积除以17的 余 数 478,296,351 除 以17的 余 数 分 别 为2 ， 7和11 ，(2711

12、)179.1 【巩 固】求89143除以 7 的余数【解析】 法一：由于 1433 mod7(143 被 7 除余 3)，所以89891433mod7(89143被 7 除所得余数与893被 7 除所得余数相等) 而63729 ， 7291 mod 7 （729 除以 7 的余数为1） ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载所以8966655143333335 mod7个故89143除以 7 的余数为5. 【巩 固】（20XX年实验中学考题）22221232001200

13、2 除以 7 的余数是多少？【解析】 由 于222222 0 0 22 0 0 34 0 0 51232 0 0 12 0 0 21 0 0 12 0 0 31 33 56， 而1001 是 7 的倍数， 所以这个乘积也是7 的倍数， 故2222212320012002除以 7 的余数是0；【巩 固】 在图表的第二行中，恰好填上8998这十个数， 使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11 所得的余数都是3【解析】因为两个数的乘积除以11 的余数， 等于两个数分别除以11 的余数之积因此原题中的8998可以改换为110，这样上下两数的乘积除以11 余 3 就容易计算了我们得到下面的结果：进而得到本

14、题的答案是：【例 2 】一个大于1 的数去除290，235，200 时，得余数分别为a ，2a，5a，则这个自然数是多少？【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195 时，得到相同的余数（都为a） 既然余数相同， 我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0那么这个自然数是29023357的约数， 又是233 19538的约数， 因此就是57 和 38 的公约数 ,因为 57 和 38 的公约数只有19 和 1，而这个数大于1，所以这个自然数是19因数89909192939495969798因数因数89909192939495969798因数3719562104

15、8精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载题型： 余数综合应用【例 3 】（著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21这串数列当中第 2008 个数除以3 所得的余数为多少？【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3 除所得余数的数列：1、 1、2、0、2、2、 1、0、1、1、2、0第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3 除的余

16、数每8 个一个周期循环出现，由于2008 除以 8 的余数为 0，所以第 2008 项被 3 除所得的余数为第8 项被 3 除所得的余数，为0. 【例 4 】( 圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和 9 的余数现知这三余数的和是15试求该数除以18 的余数【解析】 除 以 3、6 和 9 的余数分别不超过2， 5，8，所以这三个余数的和永远不超过15852，既然它们的和等于15 ，所以这三个余数分别就是2， 5，8所以该数加1 后能被3，6，9 整除，而 3,6,918 ，设该数为 a，则181am，即1 8(1 )1 7am（ m为非零自然数） ，所以它除以18 的余数只能为17 【巩 固】 (20XX 年香港圣公会小学数学奥林匹克试题) 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3 的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是 100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁? 【解析】 从任意三人岁数之和是3 的倍数， 100 除以 3 余 1，就知四个岁数都是31k型的数，又是质数只有7， 13，19，31，37，43 ，就容易看