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1、单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式*积分变换第6讲1积分变换第6讲单击此处编辑母版标题样式单击此处编辑母版副标题样式*积分变换第6讲2拉氏变换的性质本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件, 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c. 在证明性质时不再重述这些条件1. 线性性质若a,b是常数L f1(t)=F1(s), L f2(t)=F2(s),则有 L af1(t)+bf2(t)=aF1(s)+bF2(s) L -1aF1(s)+bF2(s)=af1(t)+b
2、f2(t)此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.3积分变换第6讲微分性质 若L f(t)=F(s),则有 L f (t)=sF(s)-f(0)(2.3)证 根据分部积分公式和拉氏变换公式4积分变换第6讲推论 若L f(t)=F(s), 则L f (t)=sL f(t)-f (0)=ssL f(t)-f(0)-f (0)=s2L f(t)-sf(0)-f (0).L f(n)(t)=sL f(n-1)(t)-f(n-1)(0) =snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f (0)-.-f(n-1)(0) (2.4)5积分变换第6讲特别, 当初值f(0)=f (0)=.=f(n-1)(0)=0时,
3、 有L f (t)=sF(s), L f (t)=s2F(s), .,L f(n)(t)=snF(s)(2.5)此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.6积分变换第6讲例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的拉氏变换.由于f(0)=1, f (0)=0, f (t)=-k2cos kt, 则L -k2cos kt=L f (t)=s2L f(t)-sf(0)-f (0).即-k2L cos kt=s2L cos kt-s移项化简得7积分变换第6讲例2 利用微分性质, 求函数f(t)=tm的拉氏变换, 其中m是正整数.由于f(0)=f (0)=.=f(m-1)
4、(0)=0, 而f(m)(t)=m!所以L m!=L f(m)(t)=smL f(t)-sm-1f0)-sm-2f (0)-.-f(m-1)(0)即L m!=smL tm8积分变换第6讲此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函数的微分性质:若L f(t)=F(s), 则F (s)=L -tf(t), Re(s)c.(2.6)和F(n)(s)=L (-t)nf(t), Re(s)c.(2.7)这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序9积分变换第6讲例3 求函数f(t)=t sin kt的拉氏变换.10积分变换第6讲3. 积分性质 若L f(t)=F(s)11积分变换第6讲重复应
5、用(2.8)式, 就可得到:12积分变换第6讲由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质:若L f(t)=F(s), 则13积分变换第6讲例4 求函数的拉氏变换.14积分变换第6讲其中F(s)=L f(t). 此公式常用来计算某些积分. 例如, 15积分变换第6讲4.位移性质 若L f(t)=F(s), 则有L eatf(t)=F(s-a)(Re(s-a)c). (2.12)证 根据拉氏变换式, 有上式右方只是在F(s)中将s换为s-a, 因此 L eatf(t)=F(s-a) (Re(s-a)c)16积分变换第6讲例5 求L eattm.例6 求L e-atsin kt17积分变换第6讲5.
6、 延迟性质 若L f(t)=F(s), 又t0时, 有|e-st|0, 有23积分变换第6讲例9 求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变换OT2tEf(t)T2T2OOEETTtf1(t)f2(t)t24积分变换第6讲由前图可知, f(t)=f1(t)+f2(t), 所以25积分变换第6讲例10 求如下图所示的半波正弦函数fT(t)的拉氏变换T23T25T2tT2TOEfT(t)26积分变换第6讲由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的拉氏变换为从而27积分变换第6讲这是一个求周期函数拉氏变换的简单方法, 即设fT(t) (t0)是周期为T的周期函数, 如果且L f(t)=F(s), 则28积
7、分变换第6讲初值定理与终值定理29积分变换第6讲证 根据拉氏变换的微分性质, 有L f (t)=L f(t)-f(0)=sF(s)-f(0)两边同时将s趋向于实的正无穷大, 并因为30积分变换第6讲(2) 终值定理 若L f(t)=F(s), 且sF(s)在Re(s)0的区域解析, 则31积分变换第6讲证 根据定理给出的条件和微分性质L f (t)=sF(s)-f(0),两边取s0的极限, 并由32积分变换第6讲这个性质表明f(t)在t时的数值(稳定值), 可以通过f(t)的拉氏变换乘以s取s0时的极限值而得到, 它建立了函数f(t)在无限远的值与函数sF(s)在原点的值之间的关系.在拉氏变换的应用中, 往往先得到F(s)再去求出f(t). 但经常并不关心函数f(t)的表达式, 而是需要知道f(t)在t和t0时的性态, 这两个性质给了我们方便, 能使我们直接由F(s)来求出f(t)的两个特殊值f(0), f(+).33积分变换第6讲例11 若根据初值定理和终值定理,34积分变换第6讲35积分变换第6讲此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢你的支持，我们会努力做得更好！
