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1、学习必备欢迎下载初三数学圆知识精讲一. 本周教学内容：圆 1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。 2. 主要定理：（1）垂径定理及其推论。（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。（4）圆内接四边形的性质定理及其推论。（5）切线的性质及判定。（6）切线长定理。（7）相交弦、切割线、割线定理。（8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。（9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。（11）正 n边形的有关计算。圆这一章中的知识点包括5 个 B级，13 个 C级，3 个
2、 D级水平的共21 个知识点， 多数要求掌握或灵活运用，所以圆这部分的知识非常重要。二. 中考聚焦：圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：内容圆 的有关性质直 线和圆的位置关系圆与圆 的位置关 系正多边形和 圆所占分数 百分比5%15%8% 16%3%12%2%8%圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。三. 知识框图：圆圆的有关性质直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -
3、 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载圆的有关性质圆的定义点和圆的位 置关系（这是重 点）不在同一直 线上的三点确定 一个圆圆的有关性质轴对称 性垂径定理（ 这是重点）旋转不 变性圆心角、弧、弦 、弦心距间的关 系圆心角定理圆周角定理（这 是重点）圆内接四边形（ 这是重点）直线和圆的位置关系相离相交相切切线的性质 （这是重点）切线的判定 （这是重点）弦切角（这 是重点）和圆有关的 比例线段（这 是重点难点）圆和圆的位置关系外离内含相交相切内切（这是重点）外切（这是重点）两圆的公切线正多边形和圆正多边形和圆正多边形 定义正多边形 和圆正多边形 的判定及性质
4、正多边形 的有关计算（ 这是重点）圆的有关计算圆周长、 弧长（这是重 点）圆、扇形 、弓形面积（ 这是重点）圆柱、圆 锥侧面展开图 （这是重点）【典型例题】例 1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm ，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m 是否安全？分析： 爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载O120m爆破中心安全
5、区域解：导火索燃烧的时间为180 920.( )s相同时间内，人跑的路程为2065130.()m人跑的路程130120mm点导火索的人非常安全例 2. 已知梯形ABCD 内接于 O ， AB CD ， O的半径为4，AB 6，CD 2，求梯形ABCD 的面积。分析： 要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB 、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE CD于 E，延长 EO交 AB于 F，证 OF AB 。此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。解： 分两种情况讨论：（1）当弦 AB 、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1） ：过 O作 OE CD于 E
6、，延长 EO交 AB于 F 连 OC 、OB ，则 CE DE AB CD ，OE CD OF AB ，即 EF为梯形 ABCD 的高在 RtOEC 中， EC 1，OC 4 OEOCEC22224115同理，OF7EFOEOF157SA BCD梯形122615741574 154 7（2）当弦 AB 、CD在圆心 O的同侧时，如图（2） ：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载过 O作 OE CD于 E ，交 AB于 F 以下证法同（ 1） ，略。EF157SA BC
7、D梯形122615741574 154 7梯形的面积为或ABCD41574157例 3. 如图，已知AB为 O的直径， P是 OB的中点，求tanCtanD 的值。分析： 为了求 tanCtanD 的值，需要分别构造出含有C和 D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC 、BD ，则得到 Rt ACB和 RtADB 。可以发现 ACD ABD ， ADC ABC ，于是，可以把tanCtanD 转化为tantan，则可求。ABDABCADBDACBCADACBDBC解： 连结 BC 、BD AB是 O的直径，ACB ADB 90 ACD ABD ， ADC ABC ta
8、ntantantanCDABDABCADBDACBCADACBDBC作 AE CD于 E，作 BF CD于 F 则 AEC ADB ACAEABADAC AD AE AB 同理， BD BC BFAB 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载tantanCDAEABBFABAEBF APE BPF AEBFAPBPP为半径 OB的中点，APBPAEBF313tanCtanD 3 例 4. 如图，是等边三角形，是上任一点，求证：ABCDBCDBDCDA分析： 由已知条件，等
9、边ABC可得 60角，根据圆的性质，可得ADB 60，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC 。证明： 延长 DB至点 E，使 BE DC ，连结 AE ABC是等边三角形 ACB ABC 60， AB AC ADB ACB 60四边形ABDC 是圆内接四边形 ABE ACD 在 AEB和 ADC中，BECDABEACDABACAEBADCAE AD ADB 60 AED是等边三角形AD DE DB BE BE DC DB DC DA 说明：本例也可以用其他方法证明。如：（1）延长 DC至 F，使 CF BD ，连结 AF，再证 ACF ABD ，得出
10、AD DF，从而 DB CDDA。（2）在 DA上截取 DG DC ，连结 CG ，再证 BDC AGC ，得出 BD AG ，从而 DB CD DA 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 5. 如图，已知四边形ABCD内接于 O，AB是直径， AD DC ，分别延长BA、CD交于点 E，BF EC交 EC的延长线于F，若 EA AO ，BC 12，求 CF的长。分析： 在 RtCFB中，已知 BC 12，求 CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。解：
11、 连结 OD ，BD ADDCADDC， ABC AOD OD BC ODBCEOEBEA AO ， EAAO BO BCODOD1212238，AB 16，BE 24 四边形ABCD 内接于 O EDA EBC E是公共角 EDA EBC ADBCEAECEDEB设 AD DC x，EDy，则有xyxy12248解方程组，得：x42AD4 2AB为 O的直径 ADB F 90又 DAB FCB RtADB RtCFB ADCFABBCCF，即4 21612CF3 2说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，
12、精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载这是解几何问题的一种重要方法。例6. 如 图 ， 已 知 等 腰 ABC 中 ， AB AC， 以AB 为 直 径 的 O 分 别 交AC、 BC 于点 、，过作的切线交于，若 ，求的长。FDDOFCEAF7cosBCE35解： 连结 FD AB是直径， AD BC AB AC ， BDDC ， FAD DAB 四边形ABDF 是圆内接四边形 CFD B C是公共角 ABC DFC CDACDFABAB AC CD DF （也可以证
13、 CFD B， AB AC ， B C， C CFD ， CD DF 。 ）DE切 O于 D FAD EDF 又 CDE EDF FAD DAB CDE DAB CDE EDF CD FD CE EF，DE CF cosBBC35，cosC35在中，RtACDCCDACcos35设 CD 3x，AC 5x 在中，即RtC DECECCDECxcos353ECx95ACAFCE2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载57185xxx5EC 9 例 7. 如图， 相交两圆的
14、公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。解： 公共弦AB 120 aR46120rRa6624222212060603OaRABo144601202260 2，rRaOo44242222260 2606090，SSSRa rA mBAO BAO B弓形扇 形229036012180036004244SSSRa rA nBAO BAO B弓形扇形11603601224003600 3626 6SSSA mBAnB阴影弓形弓形42003600 13两圆相交弧间阴影部分的面积为 42003600 132cm例 8. （20XX年黄冈市中
15、考题）一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20 支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示。经测量，一支香烟的直径 约为 0.75cm，长约为 8.4cm。（1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）。（ 2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm3173.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解题点拨： 四边形 ABCD中， AD长为 7 支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要
16、计算出如图（ 2）中的 O1E长即可。解： （1）如图（ 2） ，作 O1EO2O3O OO OO O1223310 7534.O E134323 38ABcm23 38343 333ADcm734214四边形ABCD 的面积是：214333463363162cm（2）制作一个烟盒至少需要纸张：263 363163 3348 42148 414409614412.c m例 9. 在直径为 20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。解： 一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载HABCOG如图， HG为 O的直径，且HG AB ，AB 16cm，HG 20cm OHcmBCABcm10128，OCOBBCcm22221086CHOHOCcm1064CGOCOGcm61016故所求弓形的高为4cm或 16cm 例 10. 的直径，过点有两条弦，求OAB2cmAAC =2cmADcm3CAD所夹圆内部分的
