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1、小学数学“起点型核心知识”教学初探作者：魏光明/王俊亮作者简介：魏光明，南京市莫愁湖小学校长，江苏省特级教师，南京 晓庄学院客座教授，主要研究方向为小学数学核心知识教 学（江苏 南京210017）；王俊亮，扬州市江都区实验小 学，扬州市学科带头人，主要研究方向为小学数学核心知 识和综合实践教学（江苏扬州225200）原文出处：江苏教育研究（南京）2018年第20184A期 第61-65页内容提要：科学选择核心知识重组课程内容，优化起点型核心知识教 学，有利于降低学生学习强度，促进他们进行深度学习， 提升以思维力为核心的关键能力，实现知识增长与智慧生 长的平衡起点型核心知识教学应坚持儿童先行、引
2、悟结合、 整体建构的原则，坚持慎重初教、宁慢勿快和深度对话， 重视其原点性和延展性，促使其多次元接纳、多节次繁殖、 多向度生成和多领域融通.期刊名称：小学数学教与学复印期号：2018年08期关键词:核心知识/逻辑关系/小学数学标题注释:【基金项目】本文系江苏省教育科学“十二五”规划2015 年度重点资助课题“小学数学起点型核心知识教学研 究” （B-a/2015/02/022）；江苏省第11期中小学教学研究课题“小学数学起点型核心知识教学研究”(2015JK11-L005)；南京市2017年度基础教育前瞻性教 学改革项目“小学数学起点型核心知识的体系建构与实践 探索”阶段研究成果.核心素养是核
3、心知识、关键能力、必备品格和价值观念的统一体.科学减少知识 容量，紧扣核知识(尤其是起点型核心知识)教学，引导学生探究和建构、理解 和应用，有利于学生提升以思考力为核心的学习力，形成核心素养，获得可持续发 展本文拟简要阐述小学数学起点型核心知识的概念及其教学实践.小学数学起点型核心知识概念界定我们常说的核心知识，是指那些适用范围广，自我生长和迁移能力强，明确的、 结构性的、不可或缺的、处于基础和中心地位的知识核IL知识具有内在逻辑的连贯 性和一致性，具有很强的吸附、解释、生长和应用功能小学数学核心知识，概括起 来说包括基本原理、基本关系、基本方法、基本问题四大方面从数学整体看,核心 知识是一些
4、基本思想和基本方法；从四大领域看，核心知识是一些基本原理和基本 关系；从知识序列来看，核心知识是一些知识发生发展过程中的起点、节点和拐点； 从知识的某个段落来看,核心知识是一些基本问题1如果说核心知识是知识大厦的框架,起点型核知识则是这座大厦的根基小学 数学起点型核心知识是指那些处于某个知识领域、某个知识序列、某个知识段落或 者某个教学单元起点位置的核心知识,是具有相对意义的原点性知识,是一些重要 的先行组织者，是知识中的干细胞，在基本思想、基本方法、基本原理、 基本关系、基本问题上指向这些内容的初次集中教学，具有多次元的基础性、多节 次的关联性、多向度的生成性、多领域的融通性.二、基于逻辑关
5、系确定起点型核心知识在众多知识中，准确遴选起点型核心知识是有效教学的前提.我们可以通过绘制 知识之间的逻辑关系图，分析和筛选其中的核心知识，确走处于起点位置的核心知 识限于篇幅,本文选择小学数学知识之间三种逻辑关系进行分析,以探讨确定起点 型核心知识的方法.（-）基于纲目关系确定起点型核心知识知识之间的纲目关系，是指知识沿着一条主线（纲线）生长，在主线的每一个 节点下,又按照大致一致的结构排列知识点纲目式的知识生长,是一种顺生长,即 数学知识点沿着起点型核心知识打下的基础,一般按照从左往右、从上到下的自然 顺序建构.在这样的关系中,最左上角的核心知识一般是起点型核心知识.比如,乘法 意义即是整
6、数乘法板块的起点型核4知识.（二）基于包含关系确定起点型核心知识知识之间的包含关系，就是数学所说的从属关系，知识点之间存在上下位的关 系.如图1所示的数系知识点之间的关系，就是典型的包含关系.学生在建构类似 数系知识这样的结构体系时,通常采用的是一种逆生长的知识生长方法,即从一个 最末端的知识点出发,溯源而上,逐步逼近上位知识点的生长方法.这个认识过程实 际上也是人类对数系的认识史.一 （12 ）表示的是学生对数系概念逐步逆流建构的 顺序.在这样的关系中，最先学习的核心知识点即是起点型核心知识.在一些相关联的知识点之间，它们相互衍生，彼此之间形成相互交汇融合的知识衍生、转化关系，我们称之为知识
7、之间的交叉关系交叉关系的核心知识是一种多次生长关系.在这样的关系中，处于起始位的核心知识点一般是起点型核心知识.三、起点型核心知识教学原则、策略和基本要求教学中，我们应遵循基本的教学原则，采用合理的教学策略，明确清晰的教学 要求，着力提高起点型核心知识的教学实效.(-)起点型核心知识教学的主要原则一是要坚持儿童先行,让儿童的学习先于教师的传授，儿童想法的表达先于成 人想法的表达，利于教师及时关注学生全员参与的深入程度和教学反馈的覆盖范围， 了解学生真实的学习困难和快乐，洞察错误背后的迷思与误解.二是要坚持引悟结合, 鼓励并引导儿童主动地进行同化或顺应，创造性地把新学知识与已有经验建立关联, 让
8、知识具有个人意义，进而创造性地解决实际问题，形成创造性的经验和智慧.三是 要坚持整体建构，深度发掘起点型核心知识的内核、整体结构和丰富内涵，长线设 计并硏发有助于整体思考的学习素材、整体互动的学习场景，使儿童形成对知识的 深刻理解,建构起有生命力的、可迁移的知识,进而悟得数学课程的知识体系和学 科思想.(二) 起点型核心知识教学的基本策略-要坚持慎重初教，把教材与学生都吃透，遵循“刻板印象的原理，在首次 教学中让学生获得正确的知识、有效的方法、合理的策略，以保证在后续教与学的过程中能够顺利建构新知识二要坚持宁屢勿快，密切关注学情，遇到困难，要耐心 寻找突破口，宁可牺牲教学进度，也不强行灌输，宁
9、可完不成教学任务，也要让学 生把该学的知识理解到位,力求夯实基础与提升素养并重,引领学生充分经历数学 知识的形成与应用过程.三要坚持深度对话，要打破点对点、单向、线性的对话方式, 扩大话语圈，了解儿童的隐性学情，倾听儿童的真实内心，从而及时地把圈外的儿 童和认知的误解拉入到话语圈中来要让藏在儿童思想深处的数学误解或迷思得以显 现、澄清和消除，改变儿童被动、消极的学习状态，放飞他们的思维，舒展他们的 心灵.（三）起点型核心知识教学的基本要求1.重视起点型核心知识的原点性起点型核心知识是一些具有干细胞性质的知识,可以不断生长出与之关联 的新知识.重视其原点性需要注意三点：第一,起点数学概念要强调本
10、质内涵.比如, 初学平行四边形，要突出其对边平行，由平行衍生出来的对边相等、对角相等 则要淡化.第二,起点数学技能要强调共性通法比如测量，测长度、测面积、测体积、 测角度,其共性通法是用基本单位逐一去量.学生第一次学习用厘米去量物体边或线 段的长度时，要强调几厘米长的物体边或线段有几个1厘米那么长，后续学习用1 平方厘米、1平方分米等面积单位去测量物体表面或平面图形的面积，学生就有了 方法论的基础第三,起点数学方法要强调普遍规则比如，一年级学生初次接触分类 方法，教师可以通过提问我们为什么把这些东西放在左边，把另外一些东西放在 右边呢，引导学生感悟、发现分类的标准或规则，即一类是文具，另一类是
11、水 果，进而弄清分类不是把物体随意放在一起，需要强调其相同属性.由于各种原因，学生并不能很好地建构或接受某些起点型核心知识，这就需要 我们对其进行延伸与拓展性教学”对其进行进一步的激活与唤醒”进行必要补充与 丰富，帮助学生对其进行“固着与完善，使后续教学更为顺畅有效同时，延 展性教学最大的意义在于,在丰富的数学背景中让学生体会起点型核心知识在变 化中保持着本质内涵的不变延展性教学要突出三个举措：第一，思路上要突 出拓展延伸如，可以通过将圆转化为新的图形，比如平行四边形、梯形、三角形， 进而从新的视角推导出圆的面积计算公式具体操作时，可以适度降低难度，为学生 准备好画有等分线的圆,及时将学生引向
12、这一内容教学的最近发展区域第二，内容 上突出思想领悟比如,圆的面积计算方法的探求,本质上是让学生知晓、领悟和掌 握探索陌生知识时,可以将陌生的内容,即圆的面积计算,转化为他们熟悉的相关 平面图形的面积计算.在学生了解多种转化思路，发现圆可以转化成长方形、平 行四边形、梯形、三角形，虽然拼成的图形不同，但都是化陌生为熟悉.比较这些殊 途同归的思路，学生对知识体系中平面图形面积计算的理解会更为深刻，对转化思 想的领悟会更深一层.第三，形式上突出自主探究.还是以圆的面积计算为例，我们可 以设计和组织探究活动,让学生自主地剪、拼、观察、比较和推理,按照各自不同 的转化方向,推导出圆的面积计算公式在此基
13、础上,引导学生再次进行比较”他们 会发现转化成的图形虽然不同，但是推导出的圆的面积计算公式完全一样.这样的学 习过程，既提高了知识建构的效度，又渗透了 不完全归纳的数学思想，有利于 提高学生自主探究的能力.作为知识框架的承重点与生长点,起点型核心知识在学生知识体系建构中具有 独特的价值.(-)起点型核心知识具有原点生发价值起点型核心知识作为干细胞式的知识,其首要的价值在于生发.浩瀚庞大的图形 与几何知识体系，其源头是一个小小的点，由点生发开去，聚点成线，移线成面， 组面成体.如果说整个数学知识体系是一片广阔的森林，那么它就是由一个个起点型 核心知识生长出的一棵棵茂盛的知识树组成的起点型核心知识
14、一方面生发出与之相 关联的知识体系,另一方面又作为其基础,支撑着其他后续知识的生长当学生理解 和掌握了某一个起点型核心知识,就可以沿着这个知识点的内涵与外延派生出去, 形成一个知识序列；当学生理解和掌握多个起点型核心知识,还可以在众多的知识 点的交叉处生发出新的知识体系.值得关注的是，当学生学习遭遇困难时，可以回到 起点型核心知识这个知识生发点，寻找知识、技能、方法突破的脚手架.(二)起点型核心知识具有立体枢纽价值随着知识的不断丰富，学生会逐步建构属于自己的数学知识体系.如果把数学知 识体系看成是一个立体交叉的巨无霸路网,核心知识就是其中的主干通道,而起点 型核心知识则是连接知识主干道与主干道
15、之间，主干道与次主干道之间的枢纽.从这 个意义上说，一个起点型核心知识建构得清晰明确，理解得深刻到位，运用得灵活 巧妙，这个知识枢纽与其他知识点的连接就会畅通无阻，解决相关问题就能信手拈 来.反之，如果某个起点型核心知识建构不实，概念模糊，方法不清，技能不熟，解 决相关问题就会磕磕绊绊.加强起点型核心知识教学，保证知识枢纽的畅通，对于学 生建构知识体系、后续学习边缘交叉学科具有基础性、决定性的作用.（三）起点型核心知识具有多元引领价值小学数学起点型核心知识的引领价值首先体现在知识层面.以整数乘法为例, 乘法的意义对后续小数乘整数、分数乘整数等具有意义引领价值;两位数乘两位数 的竖式计算对多位数
16、乘法具有方法引领价值,学会了两位数乘两位数,后续学习多 位数乘法就水到渠成.其次”引领价值体现在技能层面.以测量为例,二年级”用 厘米量物体的长度中从0开始大刻度减小刻度等方法，对后续教材以及 生活中诸多测量内容都具有原初的引领价值最后，引领价值还体现在思想方法 层面日本数学家米山国藏说过：作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了,深 深铭记在头脑中的唯有数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等这些都随时 随地发生作用”使他们终身受益.由此可见数学思想方法对于学生的成长与整个人 生的重要意义.五、起点型核心知识在知识体系建构中的作用核心知识体系建构通常有四个步骤：一是建构核心概念，吸附知识固着要 反复地回到学习原点的核心概念，增强
