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1、第第8 8章章 立体几何初步立体几何初步8.3 8.3 简单简单几何体的表面积与体积几何体的表面积与体积(1)(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积1小学我们就学过，正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和正方体、长方体的表面积求多面体的表面积体现了立体几何问题 平面化的转化思想棱柱、棱锥、棱台的表面积1正方体、长方体的表面积一个长方体的表面积是20cm3，所有棱长的和是24cm，求长方体的体对角线长度.，式两边平方，得：即体对角线长为 4cm棱柱、棱锥、棱台的表面积1 棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱， 另一边等于棱柱的底面周长； 棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成； 棱台的侧面展开
2、图由若干个梯形组成.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图圆柱、圆锥、圆台的表面积2圆柱的表面积圆柱、圆锥、圆台的表面积2圆锥的表面积圆柱、圆锥、圆台的表面积2圆台的表面积柱体、椎体、台体的体积3柱体(棱柱、圆柱)的体积柱体、椎体、台体的体积3锥体(棱锥、圆锥)的体积棱柱与棱锥锥体积积之间间的关系一个三棱柱可以分解成三个体积相等的三棱锥，如图所示：柱体、椎体、台体的体积3锥体(棱锥、圆锥)的体积柱体、椎体、台体的体积3台体(棱台、圆台)的体积柱体、椎体、台体的体积3柱体、椎体、台体体积之间的关系从柱体、锥体、台体的形状可以看出，当台体上底面缩为一点时，台体成为椎体；当台体上底面放大到与下底面相同时，台体
3、成为柱体.因此只要分别令和，便可以从台体的体积公式得到柱体和椎体的体积公式.从而椎体和椎体的体积公式可以统一为台体的体积公式.球的体积和表面积4(1)从公式看，球的体积和表面积的大小，只与球的半径有关，给定一个半径R都有唯一确定的V和S与之对应 ，所以球的体积和表面积都是半径R的函数；球的体积积与表面积积公式的几点认识认识(2)球的表面积恰好是是球的大圆(通过球心的平面截球所得的圆)面积的4倍.求几何体体积的常用方法常见多面体的体积公式常见旋转体的体积公式公式法 三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为多少？如右图所示，设PA=1，PB=2，PC=3，且PA，PB，
4、PC相互垂直所以求几何体体积的常用方法将原几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等补形法 三棱锥A-BCD的高为4，底面BCD为直角三角形，两直角边BD和CD的长分别为5和3，求该三棱锥的体积.如右图所示，把三棱锥放到长方体中，长方体的长宽高分别为5，3，4，BCD为直角三角形，所以该三棱锥的体积 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EF/AB，EF=2，求该多面体的体积.求几何体体积的常用方法将原几何体分割成容易求解体积的几个部分，分别求体积，再求和分割法所以该多面体的体积第第8 8章章 立体几何立体几何初步初
5、步8.3 8.3 简单简单几何体的表面积与体积几何体的表面积与体积(2)(2)球的截面问题1用一个平面去截球，截面一定是圆面.如果平面经过球心，得到的截面圆为球的大圆(如地球仪上的经线圈与赤道所在的经线圈)；如果平面不过球心，得到的截面圆为球的小圆(如40经线圈)球的截面问题1所以球的表面积过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面积.球与几何体外接、内切问题2解决与球有关的外接、内切问题的关键确定球心位置构造直角三角形，确定球的半径球心定位置半径定大小球与多面体多面体的外接球：多面体的顶点均在球面上；球心到各个顶点距离相等多面体的内切球：多面体
6、的各面均与球面相切；球心到各面距离相等球与旋转体旋转体的外接球：旋转体的顶点在球面上；底面为球的截面；球心在旋转轴 上旋转体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心在旋转轴 上球与几何体外接、内切问题2简单多面体的外接球问题简单 多面体的外接球问题 是立体几何中的难点也是重点，此类问题 最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐，有些同学对于此类问题 的解答往往不知从何处入手，其实简单 多面体的外接球问题实质 上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置.由球的定义确定球心：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接
7、多面体，这个球是这个多面体的外接球，也就是说如果一个定点到一个简单 多面体的所有顶点的距离相等，那么这个定点就是该简单 多面体外接球的球心，深刻理解球的定义，可以得到简单 多面体外接球的一些常见结论 长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.球与几何体外接、内切问题2简单多面体的外接球问题构造长方体或正方体确定球心：正三面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都可将三棱锥补形长方体或正方体；同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥可将三棱锥补形成长方体或正方体；若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补
8、形成长方体或正方体；若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体；由性质确定球心：球与几何体外接、内切问题2简单多面体的外接球问题已知长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5，且它的顶点都在同一球面上，求这个球的表面积.长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，5，且它的顶点都在同一个球面上，球与几何体外接、内切问题2简单多面体的内切球问题利用内切球的定义直接找球心和半径的关系；利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)轴截面为正三角形的圆锥 内有一个内切球，若圆锥 的底面半径为2，求球的表面积.如图所示，作出轴截面，因为ABC为正三角形，求解与棱柱
9、、棱锥的接、切问题时 ，一般过球心及接、切点做截面，把空间问题转 化成平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何元素见的关系求解.利用等体积法求解正方体与球3用过球心且平行于正方体其中一面的平面截组合体，其截面图如图过正方体对角面截组合体，其截面图如图正方体的外接球与内切球正方体与球3用过球心且平行于正方体其中一面的平面截组合体，其截面图如图过正方体对角面截组合体，其截面图如图与正方体各棱都相切的球正方体与球3如图，棱长为1的正方体内有两个球外切，且各与正方体的三个面相切，求两个球半径的和.如图，沿正方体对角面作截面图，则两圆分别与AD，BC相切，两球心在对角线AC上，O1EAD，O2FBC.
10、求组合体表面积和体积时考虑不全坑 切、接问题中不能得到最大的球坑要在封闭几何体中找最大球，就相当于把该几何体削成最大的球本题中仙友底面是直角三角形求得底面三角形的斜边长和内切圆半径，然后再比较侧棱长，通过计算得到底面直角三角形的内切圆半径侧棱长股最大的球的半径为一侧棱长的一半及要比较底面三角形内切圆的直径和侧棱长的大小来确定最大球的半径第第8 8章章 立体几何初步立体几何初步8.3 8.3 简单简单几何体的表面积与体积几何体的表面积与体积(3)(3)柱体(棱柱、圆柱)的表面积与体积襄阳市2019高一期末已知某个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，求它
11、的体积.题由题意可知该三棱柱为正三棱柱，正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，有如下两种情况：6是底面周长，4是三棱柱的高，4是底面周长，6是三棱柱的高，将边长是1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一圈，所得几何体的表面积是多少？体积又是多少？易知所得的几何体是一个底面圆半径为1的圆柱，则侧面积求柱体(棱柱、圆圆柱)表面积积的方法：锥体(棱锥、圆锥)的表面积与体积题求棱锥表面积的一般方法：定义法(注意“高”和“斜高”的区别)求椎体(棱锥锥、圆锥圆锥 )表面积积的方法：台体(棱台、圆台)的表面积与体积 圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇形的圆心角是180，
12、求圆台的表面积题球的表面积与体积求解若一个球的大圆面积扩大为原来的2倍，那么这个球的体积扩大 为原来的多少倍？题3个球的半径之比是1：2：3，那么最大的球的体积是其它两个球的体积和的_.两个球的半径之比为2：3，那么这两个球的表面积之比是_.求简单几何体的表面积 某几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是多少？题由几何体的直观图 知该几何体是长方体与半个圆柱的组合体，其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为 4，2，2，所以该几何体的表面积过点C作CEAB于点E，讲四边形ABCD绕AB所在的直线旋转一周得到的几何体是由直角梯形ADCE旋转出的圆台和CBE旋转出的圆锥拼接而成的组
13、合体.由题意及几何关系可知CE=4，AE=2，BE=3，BC=5.求简单组合体的体积 已知等腰直角三角形的直角边长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积是多少？题球的截面问题 湖面上漂着一个小球，湖水结冰之后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm，深为1cm的空穴，则该球的半径是多少？题过球的一条半径的中点作垂直与该半径的平面，所得截面的面积与球的表面积的比是多少？球的切、接问题 有两个球，第一个球内切于正方体的6个面，第二个球与这个正方体的各条棱都相切，求这个两个球的表面积之比.题(2)球与正方体的各条棱的切点是每条棱的中点，过球心作正方平面图形旋转后得到的几何体的体积与表面积 如图的四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分以AB所在直线为旋转轴旋转一周所成几何体的表面积.题该平面图形旋转一周所得到的几何体是一个圆台挖掉半个球.由题意有几何体的体积或表面积的最值问题题根据几何知识可知，当六棱锥P-ABCDEF为正六棱锥时，体积最大.底面正六边形的边长为 1，底面外接圆的半径为1，正六棱锥的底面积
