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1、 一道题目的解法辩析与探讨 张祥玉四川省泸县二中 (646106)题目 已知函数f(x)=ax2+bx+c,abc,f(1)=0.(1)求证f(x)的图像与x轴有二不同交点；(2)是否存在实数m，当f(m)=-a时，f(m+3)为正数.为便于比较，先将原解答抄录于下.解：(1)由f(1)=0得a+b+c=0，又abc,a0,c0，即(x)的图像与x轴有二不同交点；(2)由a0,f(m)=-ax2,若存在m，且cam|x1-x2|=|1-ca|,又b=-(a+c)-2c,ca-12,-2ca0.即存在这样的m满足条件f(m)=-a成立时，f(m+3)为正数.上述解答是利用了二次函数的图像，但忽视
2、了a,b,c结成的关系，由于是用图像，故难入微，由于忽视了a,b,c结成的关系，故难深入.另解：(1)由已知得a+b+c=0,abc,b=-(a+c)0,=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)20，即f(x)的图像与x轴有二不同交点；(2)a+b+c=0abc赼-(a+c)c赼-(a+c)-(a+c)c2a-ca-12ca-2c-12c0,c0,-2ca-12,-11+ca由f(m)=-a得am2+bm+c=-a，即am2-(a+c)m+c+a=0，就是m2-(1+ca)m+(1+ca)=0,化为1+ca=m2m-1,在这方程中由0，并结合(*)可得-11+ca0，-5+12mm-1
3、0.即存在这样的m满足条件f(m)=-a成立时，f(m+3)为正数.上述另解用方程函数知识，虽然繁一些，但严密无误，并可将问题一般化.一般地f(m+p)=a(m+p)2+b(m+p)+c=a(m+p)2-(1+ca)(m+p)+ca=a(m+p)2-m2m-1(m+p)+m2m-1-1=a3m2+2m-8m-1=ap(m-1-1m-1)+p2-1，即f(m+p)=ap(m-1-1m-1)+p2-1(-5+32m-10时，f(m+p)为增函数，当p0时为(p2-5p-1)a,(p2+5p-1)a);当p0时为(p2+5p-1)a,(p2-5p-1)a).由p2+5p-10解得0p3-52；由p2-5p-10解得5-32p3-52，或p0.即这时存在这样的m满足条件f(m)=-a成立时，f(m+p)为正数.但当0p3-52或5-32p0就不成立./p3-52或5-32p/p3-52；由p2-5p-10解得5-32p/m-1/mm-1/ca-12,-11+ca/a/ca-12.|x1-x2|=|1-ca|/m -全文完-
