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1、优秀学习资料欢迎下载因式分解一、学问梳理1、因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解 .注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分 解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.2、提取公因式法把mambmc ，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式 m，另一个因式 abc 是 mambmc 除以 m所得的商，像这种分解因式的方法叫做 提公因式法 . 用式子表求如下：mambmcmabc注： i多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数；字母：
2、各项都含有的相同字母；指数：相同字母的最低次幂 .3、运用公式法把乘法公式反过用， 可以把某些多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做运用公式法 .）平方差公式22ab ab ab留意： 条件：两个二次幂的差的形式；平方差公式中的 a 、 b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；在用公式前，应将要分解的多项式表示成别表示什么 .a 2b 2 的形式，并弄清 a 、b 分）完全平方公式a 22abb 2ab2 , a 22abb 2ab 2留意： 是关于某个字母（或式子）的二次三项式；其首尾两项是两个符号相同的平方形式；中间项恰是这两数乘积的 2 倍（或乘积 2 倍的相反数）；使用前应依据题
3、目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 a 22abb 2ab2 公式原型，弄清 a 、 b 分别表示的量 .补充： 常见的两个二项式幂的变号规律： ab2 nba2 n ； ab2 n 12nba1 （ n 为正整数）4、十字相乘法借助十字叉线分解系数， 从而把二次三项式分解因式的方法叫做 十字相乘法 .对于二次项系数为l的二次三项式 x 2pxq,查找满意abq, abp 的a、b ，就有 x2px qx2ab xabxaxb;5、分组分解法定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如a 2b2ab 没有公因式，又不能直接利用分式法分解， 但是假如将前两项和后两项分别
4、结合， 把原多项式分成两组；再提公因式，即可达到分解因式的目的；例如：a 2b2ab =a 2b 2 abab ababab ab1 ，这种利用分组来分解因式的方法叫 分组分解法 .原就： 用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能显现公因式或可运用公式.6、求根公式法： 假如 ax 2bxc0a0, 有两个根x , x ，那么12ax 2bxca xx1 xx2 .二、典型例题及针对练习考点 1 因式分解的概念2例1、 在以下各式中，从左到右的变形是不是因式分解？ x3 x3x29； x5 x24 x3 x8 ； x22 x3x x23； x1xx1 .2x注：左右两边的代数式必需是恒等，
5、结果应是整式乘积， 而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式.考点 2 提取公因式法例 2 8 x4 y6 x3 y22 x3 y ；x xy 22 yx3解：注： 提取公因式的关键是从整体观看，精确找出公因式， 并留意假如多项式的第一项系数是负的一般要提出“”号，使括号内的第一项系数为正. 提出公因式后得到的另一个因式必需按降幂排列 . 补例练习 1 、 45a3 b2c9a 2bc54a 2b 2c ； ab 4aab3bba 3考点 3、运用公式法2例 3 把以下式子分解因式： 36a 2解：4b ；2x21 y2 .2注：能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式.
6、留意多项式有公因式时，第一考虑提取公因式，有时仍需提出一个数字系数.例 4 把以下式子分解因式： x24 y24 xy ； a 5b18a 4b381a 3b5 .解：注：能运用完全平方公式分解因式的多项式的特点是：有三项， 并且这三项是一个完全平方式，有时需对所给的多项式作一些变形，使其符合完全平方公式. 补例练习 2 、 a 616a 2 ； a2b 22 ab2 ； 16x48 x21 ； x2124x x214 x2 .注： 整体代换思想：a、b 比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母 . 仍要留意分解到不能分解为止.考点 4、十字相乘法2例 5 a25a4 ； x4
7、5x2 y24 y4 . 补例练习 3 、 x26 xy16 y2 xy2 yx80考点 5、分组分解法例 6 分解因式：22（ 1） 4x4 xyy23z ；（2） aa2b22 a b（ 3） x 22 xyy22 x2 y3分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采纳分组分解法，；四项式一般采纳“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采纳“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法连续分解；答案：（1） 2 xyz 2 xyz （三、一分组后再用平方差）（2） a2ba1 a1（三、二分组后再提取公因式）（3） xy3xy1 （三、二、一分组后再用十字相乘法） 综合探
8、究创新例 7如 x22 a4 x25 是完全平方式，求 a 的值 .说明依据完全平方公式特点求待定系数a ，娴熟公式中的“ a 、 b ”便可自如求解 .例 8已知 ab2 ，求1 a 22ab1 b 2 的值 .2说明将所求的代数式变形，使之成为ab 的表达式，然后整体代入求值.例 9已知 xy1， xy2 ，求x3 y2 x 2y 2xy3 的值.说明这类问题一般不适合通过解出x 、 y 的值来代入运算，奇妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy与 xy 的式子，再整体代入求值.三、巩固练习一、填空题1. 分解因式：5m210nm3课外练.2. 分解因式：22x9 y6 xy.3. 当 a99 时，a22a3 的值是.4. x24 xy5 y2x5 y.5. 分解因式： 1a22abb 2.6. 分解因式： x4x2 y 2y 4.二、解答题7. 分解因式： 2mac5ca .8. 运有简便的方法运算：752.62123.52 .9. 分解因式： x24 xy4 y2x2 y6 .参考答案一、填空题1.5mm2 n2 2. x3y23.9600 4.xy5.1ab1ab 6. x2y2xy x2y2xy二、解答题7.ac2 m58.360 9. x2 y3 x2 y2
