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1、第一章 集合与函数的概念第一节集合集合的含义及表示1、含义：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合2、集合表示：用大括号或大写字母表示3、元素及表示：集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母表示4、元素三性：确定性、互异性、无序性5、常见数集： N、N*、Z、Q、R，奇数集 x|x=2n+1 ，nZ 或 x|x=2n-1，nZ 或x|x=4n 1，nZ ，偶数集 x|x=2n，nZ ；6、集合的表示法：列举法、描述法、Venn图示法；7、集合的分类：按元素个数分有限集和无限集，按元素属性分数集、点集、图形集等；8、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作；集合间的关系集合与集
2、合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种1、 子集：一般地，对于两个集合A 与 B，假如集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，就说集合B 包含 A，记作 AB（或说 A 包含于 B），也可记为 BA（ B 包含 A），此时说 A 是 B 的子集； A 不是 B 的子集，记作 AB，读 作 A 不 包 含 于 B 2、 相等：对于集合A 和 B，假如集合 A 中的每一个元素都是集合B 的元素， 反过来，集合 B 的每一个元素也都是集合A 的元素，即集合 A 是集合 B 的子集，1且集合 B 是集合 A 的子集，我么就说集合A 和集合 B 相等，记作 A=B3、 真子集：对于集合A 与
3、 B，假如 AB 并且 AB，就集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB（BA），读作 A 真包含于 B（ B 真包含 A）4、性质：（ 1）空集是任何集合的子集，即A；（ 2）空集是任何非空集合的真子集；（ 3）传递性： AB， BCAC； AB， BCAC；（ 4）AB， BAA=B；5、含 n 个元素的集合 A 的子集有 2n 个，非空子集有 2n-1 个，非空真子集有 2n-2个；集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） 1、交集：（ 1）定义：一般地，由全部属于集合A 且集合 B 的元素所组成的集合，叫做A与 B 的交集，记作 AB，读作 A 交 B，表达式为 AB x|x A且
4、 xB；（ 2）性质：（ 3）韦恩图表示为：2、并集：（ 1）定义：一般地，由全部属于集合A 或集合 B 的元素所组成的集合，叫做A与 B 的并集，记作 AB，读作 A 并 B，表达式为 AB x|x A或 xB；（ 2）性质：（ 3）韦恩图表示为：；3、补集：（ 1）定义：全集：一般地，假如一个集合含有我们所要争论的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U；补集：对于一个集合A，由全集 U中全部不属于 A 的元素组成的集合称为集合A相对于全集 U的补集，记作 CUA，读作 U中 A 的补集，表达式为CUA=x|x U，且 xA；（ 2）性质：（ 3）韦恩图表示为：1.2 函数及其表
5、示函数、映射的概念21、映射的定义：设 A，B 是两个非空集合，假如依据某一个确定的对应关系 f ， 使对于集合 A 中的任何一个元素 x，在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应，那么，就称对应 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的映射，记作： f ：AB；2、像与原像：假如给定一个集合A 到集合 B 的映射，那么，和集合A 中的 a 对应的集合 B 中的 b 叫做 a 的像， a 叫做 b 的原像；3、映射 f ：AB的特点：（ 1）存在性：集合A 中任一 a 在集合 B 中都有像；（ 2）惟一性：集合A 中的任一 a 在集合 B 中的像只有一个；（ 3）方向性：从 A 到 B
6、 的映射与从 B 到 A 的映射一般是不一样的；（ 4）集合 B 中的元素在集合A 中不肯定有原象，如集合B 中元素在集合A 中有原像，原像不肯定惟一；4、函数：（ 1）定义（传统）：假如在某变化过程中有两个变量x，y 并且对于 x 在某个范畴内的每一个确定的值，依据某个对应法就，y 都有唯独确定的值和它对应，那么 y 就是 x 的函数， x 叫做自变量， x 的取值范畴叫做函数的定义域，和x 的值对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域；（ 2）函数的集合定义：设A， B 都是非空的数集，假如依据某种确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合 B 中都有唯独
7、确定的数f （ x）和它对应，那么就称f ：xy为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作y=f （ x），xA，其中， x 叫做自变量， x 的取值范畴 A 叫做函数 f （ x）的定义域，与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f（x）|x A叫做函数 f （ x）的值域；明显值域是集合 B 的子集；5、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法就；值域可由定义域唯独确定，因此当两个函数的定义域和对应法就相同时，值域肯定相同，它们可以视为同一函数；6、函数的表示方法：（ 1）解析法：假如在函数y=f （ x）（xA）中， f （x）是用代数式（或解析式）来表达的，就这种表示函数的方
8、法叫做解析式法；（ 2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（ 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；留意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或如干曲线组成；函数的定义域、值域1、自变量取值范畴叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域；2、求函数定义域的常用方法有：（ 1）依据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；3（ 2）依据实际问题的要求确定自变量的范畴；（ 3）依据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范畴；（ 4）复合函数的定义域：假如y 是 u 的函数，而 u 是 x 的函数，即 y=f （ u）
9、， u=g（x），那么 y=fg （x） 叫做函数 f与 g 的复合函数， u 叫做中间变量，设f（ x）的定义域是 xM， g（x）的定义域是xN，求 y=fg （ x） 的定义域时，就只需求满意的 x 的集合；设 y=fg （ x） 的定义域为 P，就；3、求函数值域的方法：（ 1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数， 二次函数， 反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如（ a，b 为非零常数）的函数；（ 2）利用函数的图象即数形结合的方法；（ 3）利用均值不等式；（ 4）利用判别式；（ 5）利用换元法（如三角换元） ；（ 6）分别法：分别常数与分别参数两种形式；（ 7）利用
10、复合函数的单调性； （注：二次函数在闭区间上的值域要特殊留意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要留意争论）区间及无穷的概念区间：设 a、b 是两个实数，而且a b：（ 1）满意不等式 axb的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为a ， b ；（ 2）满意不等式 a xb 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为（a， b）；（ 3）满意不等式 ax b 或 axb的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 a ，b），（a，b ，这里的实数a 与 b 都叫做相应区间的端点；无穷：实数集 R可以用区间表示为 （+，- ），“”读作“无穷大”， “- ” 读作“负无穷大”，“ +”读作“正无穷大”，
11、我们可以把满意xa， x a， xb， x b 的实数 x 的集合分别表示为a ，+），（a，+），（ - ， b ，（- ， b）；在数轴上表示区间：4留意：（ 1）在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和 b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点（ 2）书写区间记号时：有完整的区间外围记号（上述四者之一）；有两个区间端点，且左端点小于右端点；两个端点之间用“，”隔开.1.3 函数的基本性质函数的单调性、最值1、单调性的定义：对于给定区间D上的函数 f （x），如对于任意 x1， x2D，当 x1x2时，都有 f （x1） f （ x2）
12、，就称 f （ x）是区间上的增函数；当 x1x2时，都有 f （x1） f （ x2），就称 f （ x）是区间上的减函数；假如函数 y=f （x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f （ x）在区间 D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数 f （ x）的单调区间；2、判定函数 f （ x）在区间 D上的单调性的方法，（ 1）定义法：其步骤是：任取 x1， x2D，且 x1x2；作差 f （ x1） -f （ x2）或作商，并变形；判定 f （ x1） -f （ x2）的符号，或比较与1的大小；依据定义作出结论；（ 2）复合法：利用基本函数的单调性的复合；（ 3）图象法：即观看函数在区
13、间D上部分的图象从左往右看是上升的仍是下降的；3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y f （x）的定义域为 I ，假如存在实数 M，满意： 对于任意的 xI ，都有 f （ x） M；存在 x0I ，使得 f （ x0） M；那么，称M是 f （ x）的最大值最小值：一般地，设函数y f （x）的定义域为 I ，假如存在实数 M，满意： 对于任意的 xI ，都有 f （ x） M；存在 x0I ，使得 f （ x0） M；那么，称M是 f （ x）的最小值；函数的奇偶性、周期性1、函数的奇偶性：（ 1）定义：偶函数：一般地，假如对于函数f （x）的定义域内任意一个x，都5有 f （ -x ）
14、 =f （ x），就称函数 f （ x）为偶函数；奇函数：一般地，假如对于函数f （x）的定义域内任意一个x，都有 f （ -x ）-f（ x），那么函数 f （ x）是奇函数；（ 2）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称；（ 3）在公共定义域内， 两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数；注：定义域在数轴上关于原点对称是函数fx为奇函数或偶函数的必要但不充分条件2、函数的周期性：定义：如 T 为非零常数，对于定义域内的任一x，使 f （x+T） =f （ x）恒成立，就 f （ x）叫做周期函数， T 叫做这个函数的一个周期；周期函数定义域必是无界的；2. 如 T 是周期，就 kT（k0，kZ）也是周期，全部周期中最小的正数叫最小正周期；一般所说的周期是指函数的最小正周期；周期函数
