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1、学问要点知能点 1 ：1、探究三角形全等的条件优秀学习资料欢迎下载专题四（第九讲）：三角形的证明判定方法 1：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”； 判定方法 2：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”； 判定方法 3：角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”；判定方法 4：三边对应相等的两个三角形全等，简写“边边边”或“SSS”；2、探究直角三角形全等的条件（ 1） 两直角边对应相等的两个直角三角形全等；（ 2） 有一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；（ 3）斜边和一条直角边对应相等的两个直
2、角三角形；3、角平分线性质定理角平分线上的点到角的两边的距离相等；4证题的思路：已知两边找夹角（ 找直角（SAS）HL ）找第三边（SSS）如边为角的对边，就找任意角（AAS）已知一边一角边为角的邻边找已知角的另一边（ 找已知边的对角（SAS） AAS）找夹已知边的另一角（ASA）已知两角找两角的夹边（ASA）找任意一边（AAS）优秀学习资料欢迎下载一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等（ SAS）或第三边相等（ SSS）；例 1. 如图 1，已知： AC BC， CD CE， ACB DCE 60，且 B、C、D 在同一条直线上；求证： AD BEAEBCD图 1DCOAB图 3
3、四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等例 4. 如图 4，已知 AB AC， AD AG ，AE BG 交 BG 的延长线于 E，AF CD 交 CD 的延长线于F；求证： AE AFA二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边FE对应相等（ ASA ）或找任一等角的对边对应相等（ AAS ）DG例 2. 如图 2，已知点 A 、B、C、D 在同始终线上，AC BD ，AM CN ， BM DN ；求证： AM CNMNACBD图 2BC图 4五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作帮助线构成证题所需的三角形例 5. 如图 5，已知 ABC
4、中， BAC 90， AB AC ， BD 是中线， AE BD 于 F，交 BC 于 E；求证： ADB CDEA2DF1三、当已知两个三角形中， 有一边和一角对应相等时， 可找另一角对应相等（ AAS ， ASA ）或找夹等角的另一边对应相等（ SAS）例 3. 如图 3，已知： CAB DBA ，AC BD ， AC 交 BD 于点 O；求证： CAB DBABECG图 5例 6、如图， 在 ABC 中， AB=AC,B D AC于 D, 求证 1= 1 BAC.2例 7、 如下列图， ABC 中， AD 平分 BAC 交 BC 于点 D,E F AD交 BC的延长线于 F, 且 E是
5、AD的中点， 求证 B= CAF.例 8、 在直角 ABC 中， AB=AC, BAC=90 , 1=2,C EBD的延长线于 E. 求证 BD=2CE.练习：1、 在 ABC 中， ABC=60 ,AD,CE 分别为 BAC, ACB 的平分线，求证 AC=AE+CD.2、在 ABC 中， ABC=60 ,AD,CE 分别为 BAC, ACB 的平分线，求证 AC=AE+CD.3 、如图，在 ABC 中， AC=BC, BCA=90 ,D 是AB 上的任意一点， AE CD 于 E,BF CD 于 F,求证EF=BF-AE.4、如图， AD 是 BAC 的平分线， DEAB,DF AC, 垂
6、足分别为 E,F,且 DB=DC, 求证 BE=CF.5、如图， ABC 是边长为 3 的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且 BDC=120 ,以 D 为顶点作一个60角，使其两边分别交AB 于点 M, 交 AC 于点 N, 连接 MN, 求 AMN的周长；明 BCE是直角三角形；8、如图 4， AD 是一段斜坡， AB 是水平线，现为了测斜坡上一点 D 的竖直高度 DB 的长度，欢欢在 D 处立上一竹竿CD ，并保证 CD AD ，然后在竿顶 C 处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点 E，他调整好绳子CE 的长度，使得CE=AD ，此时他测得DE=2 米，于是他认定 DB 的高度也为 2 米
7、，你觉得对吗 .请说明理C由；ED6、如图，已知 ABC中， ABC=45 ,CD AB于 D,BE 平分 ABC, 且 BE AC 于 E,与 CD 交于 F,HAB是 BC 边上的中点，连接DH 与 BE 相交于点 G,1图 4求证 BF=AC,2CE=1BF,（ 3） CE 与 BG 的29 、如图 1，已知， AC CE，大小关系如何，试证明你的结论；AC=CE ， ABC= CDE=90 ，问 BD=AB+ED吗.AEBCD图 5D7、图 1，已知 DO BC，OC=O，AECAOB=OD，请说O图 1AD10、（ 2021泸州） 如图， E 是正方形EBFBCABCD 的边 DC
8、上的一点，过点 A 作 FA AE 交 CB的延长线于点 F，求证： DE=BF（ 3）当直线 MN 绕点 C 旋转到下图的位置时，试问DE ， AD ， BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等M量关系；CEABD图N11、如图 8，在 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC ，AE 是过点 A 的直线， BD AE ， CE AE ，13、（ 2021怀化）如图， 四边形 ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG，AE 与 CG 相交于点 M ，ADBEC图CG 与 AD 相交于点 N 求证： AEGABDCG ；FE（ 1）直线 MN 经过点 C，且 AD MN 于 D ，B
9、EMN14、 如图， ABC 中，C C=90，于 E； 当直线MN绕点 C 旋转到下图的位置时， ADC CEB，且 DE=AD+BE ；你能说出其中的道理吗？AB=2AC ，M 是 AB 的中点，点 N 在 BC 上，MN AB. 求证： AN 平分 BAC.AMBNC（ 2）当直线 MN 绕点 C 旋转到如下图的位置时，DE =AD-BE ；说说你的理由；16、如图，在 ABC 中， ABC=60 ， AD 、CE 分别平分 BAC 、 ACB ，求证： AC=AE+CD MDCENAB图AB+ACBD+DE+CE17、如图，在 ABC 中，AD 平分 BAC ，AB+BD=AC， 求 B： C 的值；ABDC18、已知，如图 3，在 ABC 中， C2 B， 12；求证： AB=AC+C；D19、已知，如图D、E 为 ABC内两点，求证 :
